Kapitola 4
ČERNÉ   DÍRY
4.1. Úloha gravitace při vzniku a evoluci hvězd
4.2. Konečné fáze hvězdné evoluce. Gravitační kolaps
4.3. Schwarzschildovy statické černé díry
4.4. Rotující a elektricky nabité Kerrovy-Newmanovy černé díry
4.5. Teorém "černá díra nemá vlasy"
4.6. Zákony dynamiky černých děr
4.7. Kvantové vyzařování a termodynamika černých děr
4.8. Astrofyzikální význam černých děr
4.9. Úplný gravitační kolaps - největší katastrofa v přírodě

4.7. Kvantové vyzařování a termodynamika černých děr

Termodynamické jevy u černé díry
V předchozím odstavci jsme si ukázali velmi těsnou analogii mezi zákony mechaniky černých děr a zákony termodynamiky. Kdybychom však chtěli na základě této analogie v rámci klasické (nekvantové) fyziky černým dírám připsat skutečnou teplotu (úměrnou povrchové gravitaci) a skutečnou entropii (úměrnou ploše horizontu) - vybudovat tedy jakousi "termodynamiku černých děr" - nebyla by tato termodynamika konzistentní. Podle klasické fyziky černá díra může sice tělesa i záření absorbovat, avšak nemůže nic vyzařovat; její teplota musí být proto absolutní nula nezávisle na velikosti povrchové gravitace. Podobně entropie černé díry podle klasické fyziky by měla být nekonečná nezávisle na velikosti povrchu horizontu, protože černá díra může teoreticky vzniknout kolapsem nekonečně velkého počtu nekonečně malých částic. V rámci klasické fyziky by proto analogie mezi zákony mechaniky černých děr a zákony termodynamiky zůstala pouze vnější (a v podstatě náhodnou) podobností bez hlubšího fyzikálního významu.

Zatím jsme však vlastnosti černých děr vyšetřovali pouze z hlediska klasické obecné teorie relativity bez přihlédnutí ke kvantovým jevům. Zcela důsledný kvantový přístup zatím není uskutečnitelný, protože dosud nebyla vytvořena úplná kvantová teorie gravitace. Musíme se proto spokojit s jakýmsi "semikvantovým přístupem: gravitaci necháme nekvantovanou, kvantovat budeme pouze ostatní fyzikální pole. Jinými slovy, budeme pomocí kvantové fyziky popisovat pohyb hmoty a chování negravitačních polí v zakřiveném prostoročase (na pozadí nekvantované geometrie prostoročasu - v nekvantovaném gravitačním poli). Protože efekty kvantování samotného prostoročasu se mohou výrazně uplatnit až v mikroměřítcích řádu ~10^-33cm (viz §B.3) a v měřítcích běžné fyziky (tj. nad 10^-13cm) jsou velmi malé, lze očekávat, že tato semikvantová aproximace bude dobře popisovat skutečnost prakticky za všech situací, kromě jevů v bezprostřední blízkosti singularit.

Než přistoupíme k vlastnímu Hawkingovu efektu kvantové evaporace černých děr, ilustrujme si přínos kvantového přístupu pro termodynamiku černých děr na myšleném pokusu podle obr.4.22. Mějme dutou skříňku tepelně izolovanou od okolí, jejíž vnitřní stěny jsou zahřáty na teplotu Tm a vnitřek skříňky obsahuje tepelné záření o teplotě Tm. V dostatečné vzdálenosti nechť je černá díra (pro jednoduchost Schwarzschildova) hmotnosti M, na kterou budeme skříňku s tepelným zářením pomalu (aby nedocházelo ke znatelnému vyzařování gravitačních vln) spouštět na dokonale pevném laně *) pomocí rumpálu. Potencialní energie skříňky v gravitačním poli černe díry se mění na práci roztáčející rumpál; pomocí dynama se převádí na elektrickou energii, která se uchovává v akumulátoru. Budeme předpokládat, že účinnost přeměny i akumulace je 100%.
*) Jedná se o myšlený experiment! Lano z libovolného fyzice známého materiálu by se muselo nutně přetrhnout ještě poměrně daleko od horizontu; totéž platí o skříňce. Poznamenejme ještě, že celý rozbor myšleného experimentu má pouze heuristický charakter a neslouží k přesnému odvození kvantově-termodynamických zákonů černých děr.

Obr.4.22. Myšlený experiment pro studium termodynamických vlastností černé díry - tepelný stroj s černou dírou jako chladičem.
a) Pomalé spouštění skříňky s tepelným zářením k černé díře; získaná energie se ukládá v akumulátoru.
b) U horizontu se nechá část tepelného záření pohltit černou dírou -> ochlazení skříňky.
c) Ochlazená a odlehčená skříňka se vytáhne pomocí energie z akumulátoru zpět, přičemž zbylá energie pochází z tepelného záření pohlceného dírou.

Aby bylo možno skříňku zase vytáhnout zpátky, můžeme ji spustit nejhlouběji tak, že se její dno právě dotkne horizontu. Tedy její těžiště se může dostat nanejvýš do vzdálenosti L (poloviční výška skříňky) od horizontu černé díry. Celková práce, která se uvolní a uloží do akumulátoru při spouštění skříňky z nekonečna do vzdálenosti L od horizontu je rovna vazbové energii

kde m je hmotnost skříňky a k je povrchová gravitace na horizontu černé díry. Nechť se nyní otevře dno skříňky, takže část tepelného záření o hmotnosti dm unikne ven a je pohlceno černou dírou. Dno opět uzavřeme a takto odlehčenou a ochlazenou skříňku (o hmotnosti m-dm) zase budeme pomalu vytahovat nazpět tím, že dynamo nahradíme motorem poháněným energií z akumulátoru, nahromaděnou předtím při spouštění skříňky. Abychom odlehčenou skříňku vytáhli zpět do nekonečna, bude na to potřeba práce

V akumulátoru zbude energie E1 - E2, takže můžeme říci, že množství tepla dm se přeměnilo na práci E1-E2. Uspořádání na obr.4.22 je tedy "tepelný stroj" na přeměnu tepla skříňky na práci, přičemž roli "chladiče" hraje černá díra. Účinnost h přeměny tepla dm na získanou práci E1-E2 je rovna

Tato účinnost je vždy menší než jedna; přiblížení se ideální jednotkové účinnosti by bylo možné jen tehdy, kdyby se velikost skříňky L blížila nule.

A zde přichází ke slovu kvantová fyzika, podle které toto není možné, protože skříňka musí být větší než charakteristická délka vlny tepelného záření odpovídajícího dané teplotě Tm (aby se do ní toto tepelné záření "vešlo"): L ł h/k.Tm, kde h je Planckova konstanta ("přeškrtnutá": h=h/2p) a k je Boltzmanova konstanta. Účinnost přeměny tepla na práci je zde tedy omezena nerovností

Pro tepelně-energetický proces na obr.4.22 platí podle 2.zákona termodynamiky známá Carnotova věta

kde rovnost platí jen pro vratný děj. Jestliže srovnáme obě nerovnosti (4.60) a (4.61), přičemž Tohřívače je rovna původní teplotě Tm skříňky a chladičem je zde černá díra, vidíme, že z hlediska termodynamiky by černá díra měla mít termodynamickou teplotu

(T_H = h/k.r_g pro Schwarzschildovu černou díru), která je úměrná povrchové gravitaci k. Podívejme se dále, jaká je při tomto procesu podle obr.4.22 bilance entropie; připusťme přitom, že černá díra má nějakou konečnou entropii obvyklým způsobem související s hmotností a teplotou, i když to není v souladu s klasickou fyzikou. Entropie, kterou ztratí skříňka při předání části svého tepelného záření černé díře, je rovna dSskříňky = dm/Tm. Černá díra přitom získá entropii dSH = dM/T_H, kde přírustek hmotnosti černé díry dM je podle zákona zachování energie (1.zákon mechaniky černých děr) roven rozdílu předané hmotnosti dm a energie, která zbyla v akumulátoru: dM = dm - (E1-E2 ) = dm - dm(1 - k.L) = dm.k.L. Entropie černé díry tedy vzroste o dSH = dm.k.L/T_H ; dosadíme-li zde za T_H z (4.62) a použijeme-li pro skříňku kvantové podmínky L ł h/kTm, dostáváme pro celkovou bilanci entropie nerovnost dS_H ł dSskříňky. Tedy v souladu s 2.větou termodynamickou černá díra získá více entropie, než jí ztratí skříňka.

Dosadíme-li do vztahu dS_H = dM/T_H pro změnu entropie černé díry za dM z prvního zákona mechaniky černých děr (4.50) a za T_H z (4.62), dostáváme

dS_H   =   (k/8ph) dA   ;        

protože je přirozené předpokládat, že neexistující černá díra nulové hmotnosti má nulovou entropii, tj. lim_A®0S_H(A) = 0, integrace vede ke vztahu

Dostáváme tak výsledek, podle něhož entropie černé díry je úměrná ploše jejího horizontu; je to v plném souladu s analogií mezi zákony mechaniky černých děr a zákony termodynamiky.

Na začátku tohoto odstavce jsme si řekli, že podle klasické fyziky by entropie černé díry měla být nekonečná, protože černá díra může teoreticky vzniknout kolapsem neomezeně velkého počtu částeček o neomezeně malé hmotnosti. Podle kvantové fyziky (Heisenbergových relací neurčitosti) však toto není možné, Comptonovská délka h/mc částic vytvářejících černou díru musí být omezena gravitačním poloměrem horizontu 2M, takže počet konfigurací, z nichž může vzniknout černá díra dané hmotnosti je konečný. Podle kvantové mechaniky je tedy entropie černé díry sice velmi velká, avšak konečná.

Z hlediska statistické fyziky (a teorie informace) je entropie mírou neuspořádanosti daného systému [167]. Při vzniku černé díry gravitačním kolapsem se ztrácejí pro vnější svět všechny informace o individuálních vlastnostech kolabující hmoty kromě celkové hmotnosti, náboje a rotačního momentu hybnosti - "černá díra nemá vlasy", černá díra nemá mikroskopickou strukturu. Tato neobvyklá situace se označuje jako "paradox ztráty informace" (viz diskusi v závěrečné pasáži této kapitoly). Toto ohromné množství ztracených informací je pak mírou entropie černé díry. Pro úměrnost mezi plochou horizontu a entropií pohlcené hmoty se později vžil poněkud zavádějící název "holografický princip" *).
*) Holografický obraz v optice vzniká tak, že svazek koherentního světla (z laseru) se rozdělí na dvě části, z nichž jedna dopadá na fotografickou vrstvu přímo, druhá část pak po odrazu od zobrazovaného předmětu. Oba tyto paprsky interferují a na fotografické emulzi vznikne struktura tenkých interferenčních proužků, nesoucích informaci o fázových rozdílech obou paprsků. Ozáříme-li pak tento dvojrozměrný obrázek koherentním světlem (opět z laseru), odražené paprsky zpětně rekonstruují tytéž fázové rozdíly, jaké obraz vytvořily - vzniká dojem trojrozměrného obrazu původního předmětu. Holografický obraz má tu zajímavou vlastnost, že i z úlomku hologramu můžeme vidět celý trojrozměrný obraz, i když s menším rozlišením.
Dvojrozměrná plocha horizontu černé díry nese veškerou (příslušně redukovanou) informaci o (trojrozměrných) konfiguracích pohlcené hmoty v černé díře, podobně jako dvojrozměrný hologram nese informace o trojrozměrném objektu. Tím ovšem podobnost s holografií končí, neboť informace o pohlcené hmotě jsou ztraceny (kromě M,J,Q) a nelze je nijak zpětně zrekonstruovat.
"Holografický princip" byl dále ještě zobecněn v souvislosti s budováním kvantových teorií gravitace: "Informaci (stupně volnosti) o systému uvnitř objemu V lze lokalizovat (zakódovat) na povrch ¶V tohoto objemu, přičemž hustota informace nepřesahuje jeden bit na Planckovu plochu l_p² ".

Při zachycení elementární částice černou dírou se pro vnějšího pozorovatele ztrácí možnost identifikace této částice. Vyjádříme-li se v počítačové terminologii, ztratil se jeden "bit" informace: částice ano-ne. Entropie černé díry se tím zvětší o hodnotu úměrnou Boltzmanově konstantě k (dS_H = k.ln2) a současně se patřičně zvětší plocha horizontu A černé díry. Bekenstein [11],[13] vypočítal, že při pohlcení tělesa hmotnosti m (m <<M) a velikosti d černou dírou vzroste plocha jejího horizontu nejméně o 8pm.d. V kvantové mechanice má každá částice efektivní průměr řádu comptonovské vlnové délky, takže vezmeme-li za velikost elementární částice její Comptonův průměr h/mc (avšak pracujeme v jednotkách, kde c=1), vzroste plocha horizontu při jejím zachycení černou dírou nejméně o 8ph. Poměr mezi přírustkem entropie černé díry a zvětšením plochy jejího horizontu při zachycení elementární částice je tedy

dS_H / dA   ~   k / 8ph   .      

Podle kvantové mechaniky a statistické fyziky tak opět dostáváme vztah (4.63), podle něhož je entropie černé díry úměrná ploše jejího horizontu. Koeficient této úměrnosti pak plyne ze vztahu (4.62) pro teplotu černé díry při Hawkingovu efektu kvantové evaporace a z 1.zákona mechaniky černých děr (4.50), viz níže.

V termodynamice plynů, kapalin a pevných látek je entropie přímo úměrná objemu zaplněnému látkou. V kvantové fyzice gravitace je však entropie přímo úměrná povrchu, takže do daného objemu je možno "zakódovat" podstatně méně informace, než by odpovídalo klasické představě. Vztah (4.63) pro entropii černé díry lze přepsat v ekvivalentním tvaru

kde l _p = Ö(Ghc^-3) je Planckova délka (B.10) zavedená v §B.4. Vidíme, že entropie černé díry je dána počtem Planckových ploch l _p², kterými lze pokrýt horizont černé díry (s koeficientem 1/4). Entropie černé díry (4.63) je zároveň maximální entropií, kterou lze "vtěsnat" do daného objemu uzavřeného uvnitř plochy velikosti A. Jinými slovy, černá díra představuje objekt, který nejefektivněji soustřeďuje entropii - plocha jejího horizontu A je nejmenším možným povrchem prostorové oblasti, v níž se hmota dané entropie S_H může nacházet.

Zůstává nám ještě poslední rozpor, bránící aby termodynamika černých děr byla konzistentní: černá díra může sice cokoliv absorbovat, avšak nemůže "na oplátku" nic vyzařovat. Proto nemůže být černá díra s ničím v termodynamické rovnováze, její "teplota" by podle klasické fyziky měla být absolutní nula.
Tento chybějící článek v řetězci termodynamiky černých děr doplnil S.Hawking, který v r.1974 vyslovil hypothézu kvantového vypařování černých děr [123],[126], podle níž každá černá díra spontánně emituje záření přesně tak, jako kdyby byla obyčejným černým tělesem zahřátým na teplotu T_H = k.h/k úměrnou povrchové gravitaci k na horizontu. Určitou předzvěstí Hawkingova efektu kvantové evaporace byl kvantový rozbor superradiace v ergosféře rotující černé díry (zmíněné v §4.4), který provedli Zeldovič a Starobinskij [286],[234]. Z hlediska kvantové mechaniky je zesilování vln jakýmsi "indukovaným" zářením, takže lze očekávat též existenci spontánního záření.

Základní ideu kvantové teorie pole v zakřiveném prostoročase (semikvantový přístup) vedoucí ke spontánnímu vytváření částic záření kvantovými efekty v nehomogenním gravitačním poli, je možno názorně shrnout následujícím způsobem. Podle kvantové teorie pole je vakuum zaplněno fluktuujícími dvojicemi částic a antičástic, které se neustále vytvářejí a vzápětí anihilují (rekombinují). Podle Heisenbergových relací neurčitosti dE.dt ł h je dvojice částic s klidovou hmotností m a energií mc² virtuální tehdy, jestliže jejich doba života do rekombinace nepřekročí Comptonovský čas ~ h/mc².

V silně nehomogenním gravitačním poli (např. černé díry) se gravitační síly v místech částice a antičástice mohou značně lišit, takže vlivem deviace geodetik se obě původně virtuální částice za comptonovskou dobu mohou od sebe vzdálit na vzdálenost podstatně převyšující h/mc. V tomto případě již nemusí k rekombinaci dojít a původně virtuální dvojice se stane skutečnou dvojicí částice-antičástice, přičemž příslušná energie byla dodána gravitačním polem.

Vraťme se k efektu superradiace. Dojde-li k výše popsanému kvantovému procesu uvolnění původně virtuální dvojice v ergosféře rotující černé díry a jedna z částic se přitom dostane na orbitu se zápornou energií vzhledem k nekonečnu a je zachycena černou dírou, může její partner stejně jako v Penroseově procesu mít dostatečnou energii aby mohl vylétnout z ergosféry jako reálná částice a vzdálit se od černé díry. Tímto mechanismem bude rotující černá díra spontánně emitovat záření odnášející postupně její rotační energii. Plocha horizontu černé díry se přitom ve shodě s klasickým 2.zákonem dynamiky černých děr zvětšuje. Jak jsme si řekli v §4.4, jsou rotující černé díry nestatické a "živé", takže možnost jejich kvantového vyzařování není tak překvapující. Hawkingův objev, že i statická Schwarzschildova černá díra emituje záření, které vede k postupnému zmenšování (vypařování) hmoty černé díry, byl však zcela neočekávaný.

Je to ve zřejmém rozporu s druhým zákonem mechaniky černých děr (věta 4.7), podle něhož se horizont černé díry nemůže zmenšovat. Pro platnost tohoto zákona (viz §4.6) je však nutný předpoklad, že vlastní hustota energie T_oo nemůže bý záporná. V měřítcích odpovídajících kvantovým fluktuacím však již tento předpoklad nemusí být splněn *) a může tak dojít k porušení 2.zákona dynamiky černých děr. Druhý zákon dynamiky černých děr je proto třeba zobecnit tak, aby platil i v případě kvantové evaporace; níže si ukážeme, že takové zobecnění vede zároveň k jeho sjednocení s druhou větou termodynamickou.
*) Kromě kladné hustoty lokální energie pro každého pozorovatele požaduje "silná" energetická podmínka též proud energie pouze časového charakteru (§2.6). Při vytváření virtuálního páru se dvě částice "materializují" s intervalem prostorového charakteru, takže se lokálně jedná o proud energie prostorového typu; to narušuje energetickou podmínku nutnou pro 2.zákon dynamiky černých děr.

Mechanismus kvantové evaporace
Mechanismus Hawkingova efektu je schématicky znázorněn na obr.4.23. V silném nehomogenním gravitačním poli s univerzálními účinky dochází kolem černé díry k určité "polarizaci" vakua fluktuujících virtuálních párů částic a antičástic. V oblastech blízko horizontu existuje jistá pravděpodobnost, že jeden člen páru částice-antičástice pronikne pod horizont a je pohleen, zatímco druhý člen unikne do vnějšího prostoru jako reálná částice. Pod horizont je v takovém případě vnesena vlastně záporná energie potřebná k uvolnění původně virtuálního páru. Vztah částice-antičástice a naopak souvisí s inverzí času, takže pro posaný proces bude platit opak druhého zákona dynamiky černých děr, tj. horizont se zmenší.

Obr.4.23. Znázornění Hawkingova mechanismu kvantového vyzařování černé díry pohlcením jedné části virtuální dvojice částice-antičástice a vyzářením druhé části jako reálné emitované částice. Horizont se přitom postupně zmenšuje.

Výsledkem kvantového rozboru (nebudeme zde uvádět technické podrobnosti kvantových výpočtů, viz např. [123], [117],[280] je závěr, že černá díra bude takto produkovat záření, jehož celková intenzita (výkon) bude úměrná

Pro obecnou Kerrovu-Newmanovu černou díru s povrchovou gravitací k, úhlovou rychlostí horizontu W_H a elektrickým potenciálem horizontu F_H je pravděpodobnost vyzáření částice s energií E (=h.w, kde w je frekvence příslušné vlny), momentem hybnosti L (vzhledem k ose rotace černé díry) a elektrickým nábojem q, rovna e^{-2p(E-LWH-qFH)/h.k} .G(E,L,q), kde G udává pravděpodobnost pohlcení částice s energií E, momentem hybnosti L a nábojem q touto černou dírou. Střední počet <N> částic vyzářených (jakožto vlny-kvanta) s frekvencí w, momentem hybnosti L a elektrickým nábojem q, je potom dán vztahem

znaménko "+" platí pro fermiony, znaménko "-" pro bosony. Povrchová gravitace k, úhlová rychlost W_H a elektrický potenciál F_H horizontu černé díry jsou dány vztahy (4.44-4.47). Absorbční koeficient G je pomalu proměnnou funkcí w a závisí na druhu částic nebo záření; řádově je roven jedné (zvláště pro vlnové délky podstatně převyšující M). Pro Kerrovu černou díru bude toto záření mít spektrum tepelného záření *) absolutně černého tělesa o teplotě T_H = k.h/k = h(r_g⁺-r_g^-)/8pkMr_g⁺ ; pro nerotující nenabitou Schwarzschildovu černou díru je T_H = h/4pkr_g (= hc³/8pM G @ 10^-7M_¤/M [°K]. Vzdálený pozorovatel přitom toto spektrum pozoruje přes "filtr" tvořený potenciály pole kolem černé díry.
*) Pod tepelným zářením teploty Tm budeme v dalším rozumět záření absolutně černého tělesa o teplotě Tm. Je to záření v širším smyslu, než se pod obvyklým tepelným zářením rozumí; toto záření může obsahovat nejen fotony (elektromagnetické vlnění), ale i gravitony (gravitační vlnění) a při dostatečně vysoké teplotě Tm budou přítomny též částice s nenulovou klidovou hmotností (elektrony, protony a pod.) spolu s příslušnými antičásticemi.

Ze vztahu (4.65) je vidět, že při stejném w je intenzita emise částic s kladným momentem hybnosti L vyšší než se záporným momentem hybnosti, takže kvantové záření odnáší rotační moment hybnosti černé díry (podobně je tomu s elektrickým nábojem). Pokud je w < L.W_H, bude (pro bosonová pole) jmenovatel (4.65) záporný; uvedená nerovnost je však podmínkou superradiace, takže záporné bude i G. Pro černé díry větších hmotností (tj. velmi nízké teploty T_H) pak kvantová emise může znatelně probíhat poze pro záření s w< L.W_H, a to s intenzitou G, což je ve shodě s kvantovým rozborem superradiace provedené Starobinským [234] a Unruhem [258].

Hawkingův efekt kvantového vyzařování je výsledkem použití kvantové teorie pole v zakřiveném prostoročase. Obecně přitom vznikají problémy, jak v silném gravitačním poli definovat stavy vakua a přítomnosti částice. Například v poli úplné extenze Schwarzschildovy geometrie (Kruskalův diagram na obr.3.19, popisuje "věčnou" černou díru) bude konečný výsledek toku částic kvantového vyzařování v nekonečnu ovlivňován způsobem volby počátečních vakuových a částicových stavů na horizontu minulosti [25], [259]; příslušnou volbou těchto stavů lze dosáhnout toho, že žádné vyzařování nebude. Problémy tohoto druhu nevznikají pro černou díru vzniklou gravitačním kolapsem v asymptoticky rovinném prostoročase, protože všechny částice zde začínají (v minulosti) a končí (v budoucnosti) svůj pohyb v oblastech, kde je možno vliv pole zanedbat. Pro takové asymptoticky volné částice lze použít veličinu asymptotické energie a při kvantování použít jen asymptotické tvary polí. Tímto způsobem dospěl Hawking ke svému výsledku [123]; konečný výsledek je zcela nezávislý na detailech průběhu kolapsu, takže se zdá, že výsledek bude platit i bez předpokladu, že černá díra vznikla kolapsem ("věčná" černá díra). Některé jiné způsoby odvození kvantového vyzařování černých děr [117],[280] to skutečně ukazují bez předpokladu gravitačního kolapsu.

V souvislosti s tím je zajímavé položit si otázku, kde vlastně vznikají částice tvořící kvantové záření černé díry. Jsou v podstatě dvě diametrálně odlišné možnosti. Podle první z nich je vytváření částic způsobováno proměnnou komponentou gravitačního pole při gravitačním kolapsu [27],[63], tedy jsou tvořeny kolabující hmotou před vznikem horizontu. Kolabující hmota zůstává pro vnějšího pozorovatele stále vně horizontu, přičemž záření jí odebírá kinetickou energii. Povrch kolabujícího objektu (plocha "horizontu") se tím zmenšuje. Takto vznikající částice jsou pak gravitačním polem drženy po různě dlouhou dobu v blízkosti horizontu a postupně unikají pryč (do nekonečna). Vzniká zde však vážná potíž: částice by musely být tvořeny se stále vyšší vlastní energií, aby se tím kompensoval rostoucí rudý posuv na jejich cestě do nekonečna. Podle tohoto mechanismu by se kvantové vyzařování projevovalo jen u černých děr vzniklých kolapsem, zatímco "věčné" černé díry by kvantově nevyzařovaly.

Druhá možnost, z níž vycházel Hawking (a kterou jsme též použili výše při výkladu) spočívá v tom, že částice se neustále tvoří v párech z polarizovaného vakua v nehomogenním (i statickém) poli vně horizontu. Energie jdoucí do nekonečna je kompensována proudem záporné energie částic padajících pod horizont. Všechny fyzikální argumenty svědčí pro správnost této druhé možnosti [260],[280], z níž přímo plyne nezávislost záření na individuálních vlastnostech a průběhu předchozího kolapsu, jakož i tepelný tvar spektra. Podle tohoto bude tedy "věčná" černá díra kvantově vyzařovat stejně jako díra vzniklá kolapsem; kvantové efekty tak vedou k tomu, že skutečně "věčná" černá díra nemůže existovat.

Je třeba si uvědomit principiální prostorovou nelokálnost procesu kvantové evaporace: charakteristická vlnová délka kvantového záření je srovnatelná s velikostí černé díry. Každé kvantum záření se formuje v prostorové oblasti velikosti srovnatelné s černou dírou, takže není možné přesněji lokalizovat v prostoru místo vzniku tohoto kvanta. Pozorovatel padající do černé díry by u horizontu lokálně žádné záření nepozoroval.

Černá díra se při kvantové evaporaci zmenšuje nikoliv únikem částic kladné energie zpod horizontu (horizont je směrem ven neproniknutelný), ale v důsledku bombardování a pohlcování částic záporné energie z okolního prostoru. Hawkingův mechanismus kvantového vypařování je vlastně procesem "vnější likvidace" černé díry polarizovaným vakuem.

Tepelný tvar spektra (tj. že kvantové záření z černé díry je zcela náhodné a nekorelované) souvisí s teorémem "černá díra nemá vlasy". Kvantové záření totiž přichází z oblasti, o niž vnější pozorovatel nemá jinou informaci než znalost celkové hmotnosti, náboje a momentu hybnosti. Proto všechny konfigurace emitovaných částic, které mají stejnou energii, náboj a moment hybnosti, jsou stejně pravděpodobné. Ohledně takových "skrytých" oblastí (hyperploch), o nichž má vnější pozorovatel jen omezené dostupné informace, vyslovil S.Hawking tzv. "princip ignorance" [125]: Všechny konfigurace ve "skryté" oblasti, slučitelné s omezenou principiálně pozorovatelnou informací, jsou stejně pravděpodobné. Černá díra bude tedy vyzařovat se stejnou pravděpodobností libovolnou konfiguraci částic slučitelnou se zachováním energie, momentu hybnosti a náboje. Do nekonečna však nemusí každá taková částice nebo soustava částic přijít se se stejnou pravdépodobností, protože při interakci s polem černé díry existuje pro emitované částice jistá potenciálová bariéra, na níž se některé částice mohou "odrazit" zpět do černé díry. V principu je tedy možné, aby černá díra emitovala hmotný útvar jakékoliv struktury. Hawking uvádí [125], že by černá díra mohla kvantově vyzářit třebas televizor nebo dokonce i člověka, avšak všechny podobné komplikované a "exotické" způsoby záření mají jen zcela nepatrnou pravděpodobnost. Daleko největší pravděpodobnost má emise částic s tepelným spektrem.

Sjednocení termodynamiky a kvantové evaporace černých děr
Řekli jsme si, že při kvantovém vyzařování se porušuje druhý zákon dynamiky černých děr. A zase naopak, za přítomnosti černé díry je porušena 2.věta termodynamická - černá díra (pro kterou v klasickém případě není definována entropie) pohlcuje hmotu a odčerpává tak z okolí entropii. Pohlcování hmoty je však vždy doprovázeno zvětšováním povrchu černé díry a kvantové vyzařování zase zmenšováním povrchu horizontu. Nabízí se proto "zachránit" současně jak 2.větu termodynamickou, tak i 2.zákon dynamiky černých děr: zkombinovat entropii hmoty vně černé díry Sm s velikostí plochy A černé díry a vytvořit z nich veličinu S, která by s časem nikdy nemohla klesat. Termodynamický rozbor (provedený Bekensteinem ještě před objevem Hawkingova efektu) ukazuje, že takovou veličinou by měl být součet entropie vně horizontu a jistého násobku plochy horizontu: S = S + a.A, kde a je konstanta. Protože k/2p považujeme za teplotu, lze 1.zákon mechaniky černých děr pokládat za 1.větu termodynamickou pro černou díru, zintegrovat jej, čímž se dostane a.A= S_H = (k/8ph).A + const., kde ovšem const.=0, protože požadujeme, aby entropie černé díry o hmotnosti blížící se nule šla též k nule. Můžeme tedy vyslovit tvrzení, které zobecňuje druhý zákon dynamiky černých děr a zároveň též druhou větu termodynamickou :

(v soustavě jednotek, kde je i h=k=1 je a = 1/4). Bekenstein [11] postuloval tento zobecněný zákon ještě před Hawkingovým objevem kvantové evaporace. Bez kvantového vyzařování by však mohl být zobecněný druhý zákon 4.10 v určitých situacích porušen, např. když by se černá díra nacházela v poli tepelného záření o teplotě nižší než je "teplota" černé díry; tehdy při akreci tepelného záření entropie černé díry S_H vzroste o menší hednotu, než o jakou se zmenší entropie okolního tepelného záření (a "teplo" přechází z chladnějšího prostředí na teplejší černou díru). Kvantová evaporace je tedy nezbytným předpokladem pro platnost zobecněného 2.zákona dynaniky černých děr. Existencí kvantového vyzařování se termodynamika černých děr stává zcela konzistentní - černá díra může být v rovnováze s tepelným zářením (o stabilitě takové rovnováhy však viz níže). Černá díra se chová jako každé jiné těleso zahřáté na určitou teplotu T_H a mající určitou entropii S_H, které se při interakci s okolím řídí základními zákony termodynamiky. Všechny čtyři zákony mechaniky černých děr lze ekvivalentně formulovat v termodynamické terminologii a hovořit pak o zákonech termodynamiky černých děr :

Podívejme se nyní na vlastnosti interakce černé díry s tepelným zářením. Zvětšováním hmotnosti černé díry její teplota klesá. Jestliže černá díra absorbuje určité množství tepelného záření, vzroste její hmotnost, čímž její teplota T_H = h/4M poklesne. Černá díra má tedy zápornou tepelnou kapacitu (dM/dT_H = -4M²/h) - dodáním energie černé díře se její teplota sníží. Řečeno termodynamicky: dodáváním tepla (~energie, tedy zahříváním) se černá díra neohřívá, ale chladne! Čím více energie (tepla) černá díra pohltí, tím se stává chladnější a čím více energie vyzáří, tím více se ohřívá.

Mějme Schwarzschildovu černou díru *) obklopenou zářením absolutně černého tělesa o teplotě Tm stejné jako je teplota černé díry Tm=T_H. Vlivem kvantové evaporace zde bude existovat tepelná rovnováha mezi pohlcovaným a emitovaným zářením, přičemž tato rovnováha bude samozřejmě vykazovat statistické fluktuace.
*) Protože, přesně vzato, pouze nerotující a elektricky neutrální černá díra může být v rovnováze s tepelným zářením. Nabitá a rotující černá díra emituje přednostně částice s elektrickým nábojem a momentem hybnosti téhož "znaménka" jako má černá díra, takže toto záření nebude mít přesně planckovské spektrum tepelného záření.

Nechť vlivem statistické fluktuace černá díra v určitém okamžiku pohltila o něco více energie tepelného záření než vyzářila. Protože černá díra má zápornou tepelnou kapacitu, její teplota se sníží a tím se zmenší intenzita kvantového vyzařování; intenzita pohlcování záření se naopak poněkud zvýší. Bude-li teplota tepelného záření udržována konstantní (tak tomu bude v případě, že celý vesmír je vyplněný tímto tepelným zářením, popř. když se černá díra bude nacházet uvnitř termostatu napájeného z dostatečně velkého zásobníku energie - obr.4.24a), povede to k neustále výraznějšímu porušení rovnováhy mezi akrecí tepelného záření a kvantovou evaporací: vyzařování černé díry se bude neustále zpomalovat (černá díra bude neustále chladnout) a pohlcování tepelného záření neustále zrychlovat. Hmotnost černé díry neomezeně poroste. Jestliže naopak následkem statistické fluktuace černá díra na chvíli vyzáří o něco více energie než jí pohltila, její teplota (díky záporné tepelné kapacitě) stoupne, tím bude ještě intenzívněji vyzařovat a méně pohlcovat; tento proces porušení rovnováhy se bude lavinovitě zvyšovat. Nakonec se černá díra zcela vyzáří a vymizí.

Obr.4.24. K termodynamické rovnováze mezi kvantovou evaporací černé díry a okolním tepelným zářením.
a) Černá díra uzavřená ve skříňce s tepelným zářením, jehož teplota je termostatem udržována na konstantní hodnotě Tm = T_H. Pokud je zásobník energie schopen poskytnout a přijmout neomezené množství energie (což modeluje situaci, kdy je celý vesmír vyplněn tepelným zářením teploty Tm), nemůže být termodynamická rovnováha mezi černou dírou a tepelným zářením stabilní.
b) Stabilní tepelná rovnováha mezi zářením a černou dírou se ustaví pouze tehdy, když černá díra interaguje s prostředím, které je schopno vydat a přijmout jen omezené množství energie (jako je tepelně izolovaná skríňka na obrázku).

Záporná tepelná kapacita černé díry tedy způsobuje, že černá díra nemůže být ve stabilní termodynamické rovnováze s prostředím, které může vydat nebo přijmout neomezeně velké množství tepelného záření; taková tepelná rovnováha je jen labilní. Stabilní tepelná rovnováha mezi černou dírou a tepelným zářením je možná jen za situace znázorněné na obr.4.24b, kde černá díra je uzavřena do tepelně izolované skříňky o konečném objemu. V tomto případě se vždy ustaví tepelná rovnováha bez ohledu na příp. rozdílnost původní teploty černé díry a tepelného záření ve skříňce. Jestliže za této rovnováhy v důsledku statistické fluktuace se černá díra oteplí tím, že vyzáří více energie než jí pohltila, zvýší se tím teplota tepelného záření ve skříňce, převáží akrece a černá díra se zase ochladí. Analogicky náhodným pohlcením více záření se černá díra ochladí, avšak ve skříňce ubude tepelného záření a teplota klesne, převáží kvantová evaporace a černá díra se zase oteplí.

Kvantová evoluce černé díry
Efekt kvantového vyzařování černých děr ve svém důsledku poněkud mění obraz, který jsme si v §4.2-4.6 vytvořili - že totiž gravitačním kolapsem vzniká černá díra, která je absolutně konečným produktem evoluce dostatečně hmotných hvězd. Kvantové efekty způsobují, že ani v prázdném prostoru žádná černá díra nemůže být přesně stacionární, ale pouze kvazistacionární, protože hmotnost, moment hybnosti i náboj postupně ubývají následkem kvantové evaporace. Na obr.4.25 jsou schématicky znázorněny základní rysy takto doplněné představy o konečných fázích evoluce dostatečně hmotné hvězdy v prázdném asymptoticky rovinném prostoročase. Gravitačním kolapsem vzniká černá díra, která se začne nejprve nesmírně zvolna, avšak s neustále rostoucí rychlostí kvantově vypařovat. Tloušťka bariéry, kterou musejí částice při kvantové evaporaci překonávat tunelovým jevem, je úměrná gravitačnímu poloměru černé díry. U velkých černých děr hvězdných hmotností (s rozměry řádově kilometry) je kvantové vypařování zcela nepatrné a v praxi je mnohonásobně převáženo akrecí plynů, částic a záření z okolního prostoru do černé díry *); zde však předpokládáme, že černá díra je ve vakuu. Teplota černé díry

T_H  =  h/4pkM   @   10^-7M_¤/M [°K]      

bude velmi blízká absoltní nule. S postupným vypařováním (zmenšováním r_g) se intenzita záření a energie emitovaných částic neustále zvětšuje (menší černá díra září více), takže kvantová evaporace má nakonec lavinovitý charakter jakési kvantové exploze černé díry. Černá díra tedy končí svoji existenci mohutným výbuchem, při němž se během poslední asi 0,1 sekundy uvolní energie řádově 10²³ J. Rychlost závěrečné fáze kvantové evaporace (tj. mohutnost kvantové exploze) závisí na tom, kolik různých druhů elementárních částic existuje, protože v závěrečném stadiu teplota černé díry neomezeně roste a je schopna emitovat všechny druhy elementárních částic. Výše uvedená hodnota odpovídá spektru elementárních částic jak jej známe nyní (částice složené z 6 druhů kvarků); pokud by existovaly další elementární částice o vyšších hmotnostech, byl by finální kvantový výbuch ještě o několik řádů silnější.
*) Opačná je situace u malých primordiálních černých děr s rozměry řádově 10^-13cm, které se budou jevit velmi "horké" a jejichž kvantové vyzařování bude již velmi intenzívní (řádově 10⁹ W) viz §4.8. V případě otevřeného expandujícího vesmíru by teplota reliktního záření po uplynutí dostatečně dlouhé doby poklesla i pod teplotu černých děr hvězdných hmotností, takže nakonec by se všechny černé díry mohly kvantově vypařit (viz §5.7).

Obr.4.25. Schématické znázornění prostoročasového diagramu kolapsu za vzniku černé díry, postupné kvantové evaporace této černé díry až k její kvantové explozi a úplnému vyzáření a vymizení.

V zásadě má černá díra jen dvě možnosti chování - podle své velikosti a obsahu okolního prostředí. Buďto je "všezničující hltoun" - to když je černá díra dostatečně hmotná a její mohutné gravitační pole z okolního prostoru doslova "vysává" veškerou hmotu a nenávratně pohlcuje každé těleso, které se do její blízkosti dostane. Nebo naopak, když je černá díra velmi malá, bude "sebezničující rozdávač" - bude překotně zářit dokud nevyzáří veškerou svoji hmotu a přestane existovat.

Kvantové vypařování: návrat hmoty z černé díry?
Efekt kvantové evaporace by mohl navodit myšlenku, že hmota pohlcená černou dírou při kolapsu a akreci je v černé díře jen dočasně "uvězněna" a nakonec se opět vrací do původního prostoru. Tento přímočarý pohled by byl však zavádějící. Při kvantové evaporaci se "vrací zpět" pouze hodnota gravitující hmotnosti~energie, ekvivalentní látce která vytvořila černou díru. Samotná látka pohlcená černou dírou se nenávratně "roztavila" v poli (včetně všech jejích atomů a částic), veškerá její struktura zmizela. To, co ze z černé díry vyzařuje při kvantové evaporaci, nejsou původní pohlcené částice, ale zcela jiné "nové" částice a záření, vznikající z gradientu gravitačního pole.

Nedá se tedy očekávat, že kvantové vypařování černé díry je obrácený pochod ke vzniku černé díry kolapsem **), a že by se snad mohly objevit znovu některé individuální charakteristiky objektu před kolapsem. Všechny charakteristiky kromě hmotnosti, náboje a rotačního momentu hybnosti černá díra nenávratně "zapomněla" již při vzniku horizontu. Například pravděpodobnost emise částic a antičástic nezávisí na tom, zda černá díra vznikla z obyčejné hmoty nebo z antihmoty.
**) Že Hawkingův proces kvantové evaporace by byl časově obrácený kolaps, nelze očekávat již proto, že za oba procesy jsou odpovědné zcela rozdílné fyzikální teorie: klasická OTR za kolaps a kvantová teorie pole (na daném pozadí zakřiveného prostoročasu) za kvantové vypařování.

Procesem kolapsu a následné kvantové evaporace je též zcela porušen zákon zachování byryonového náboje. Černá díra (která vznikla převážně z baryonů) po většinu času emituje téměř výhradně fotony a jiné částice s nulovou klidovou hmotností a vyzáří takto naprostou většinu své hmotnosti. Elektrony, pozitrony a jiné leptony bude černá dira vyzařovat až se dostatečně zmenší ("oteplí"), a teprve až v samém závěru blízko ke svému konci začne emitovat i baryony. Hmotnost černé díry je však v této době již velmi malá, takže principiálně by mohla vyzářit jen zcela nepatrné procento baryonů ve srovnání s množstvím baryonů z nichž při kolapsu vznikla. A i potom bude černá díra emitovat v průměru stejný počet baryonů a antibaryonů.

Porušení determinismu?
Prostoročasová událost úplného vypaření a vymizení černé díry (kvantová exploze) je nahou singularitou, která se na okamžik objeví, takže kvantová evaporace vede k porušení principu kosmické cenzury rozebíraného v §3.9. Fakticky ani není třeba čekat na úplné vypaření černé díry, protože jak ukázal Hawking [125], již během "pokojného" kvantového vyzařování je princip kosmické cenzury v jistém smyslu porušen. Emitované částice totiž vnější pozorovatel může považovat za částice pocházející ze singularity, které tunelují přes horizont podél trajektorií prostorového typu. V každém případě kvantovým zářením na nás působí oblasti, o kterých nemáme žádnou dostupnou informaci (kromě hmotnosti, náboje a momentu hybnosti). Efekt kvantového vyzařování tedy snižuje "stínící schopnost" horizontu vůči singularitě a vede tím k principiálnímu porušení determinovanosti evoluce prostoročasu [125]. V §4.5 jsme si ukázali, že teorém "černá díra nemá vlasy" omezuje naši schopnost rekonstruovat minulost, protože černá díra v sobě nenávratně "pohřbí" všechny informace o struktuře hmoty, z níž vznikla. Kvantové vyzařování nás však zbavuje i možnosti předpovídat budoucnost, protože u kvantového záření vycházejícího z černé díry (a ovlivňujícího fyzikální děje v budoucnosti) jsme schopni určit pouze pravděpodobnosti jednotlivých vyzářených konfigurací. Neurčitost a "náhodnost" pramenící z kvantové mechaniky se zde kombinuje s klasickou neurčitostí způsobenou kauzálními vztahy v silně zakřiveném prostoročase (horizont černé díry a její vlastnost "nemít vlasy").

Albert Einstein, který nikdy nepřijal kvantovou mechaniku (přesto že k jejímu vybudování podstatně přispěl), jako hlavní argument proti jejímu indeterminismu uváděl metaforický výrok "Nevěřím, že Bůh hraje se světem v kostky" *). S.Hawking naopak charakterizoval kvantové procesy u černých děr slovy: "Bůh nejen že v kostky se světem hraje, ale někdy je hází i tam, kde nejsou vidět".
*) Hra v kostky symbolizuje naprostou náhodnost a nepředvídatelnost toho, jaké číslo při jednotlivých vrzích padne. Einstein byl přesvědčen o kauzálním a deterministickém charakteru fyzikálních zákonů, jejichž "tvůrcem a projektantem" je symbolicky Bůh. Nevěřil, že chování jednotlivých mikročástic je principiálně náhodné a "chaotické" a teprve při velkém počtu interakcí se z různých pravděpodobností "vyloupne" určitá přesná zákonitost. Hawking naopak věřil v principiální charakter stochastických kvantových zákonitostí (ona "hra v kostky") a jako kvantový astrofyzik zdůrazňoval skutečnost, že některé částice se dostávají pod horizont černé díry, kde z vnějšího vesmíru principiálně "nejsou vidět". A efekt kvantové evaporace černé díry touto "schovanou stochastičností" může nekontrolovatelně ovlivňovat okolní vesmír..!..

-------- níže uvedené poznatky vznikly až po sepsání knihy "Gravitace, černé díry ...", takže v knižním vydání nebyly obsaženy -----

Je možný návrat informace z černé díry?
Shora zmíněný paradox ztráty informace v černé díře vzbuzoval mezi některými odborníky v oblasti teorie relativity, gravitace a kvantové fyziky určité pochybnosti. V poslední době dokonce sám jeho autor S.Hawking vystoupil s kontraverzním zpochybněním, kterému se v tisku dostalo široké publicity - objevovaly se články se senzačními titulky jako "Hawking se navrací z černé díry", ....... ........
Oč ze střízlivého fyzikálního hlediska jde? Jedná se o myšlenku, že veškeré informace (kromě hmotnosti, náboje a momentu hybnosti) o hmotě, která kolapsem a akrecí vytváří černou díru, se nemusí nenávratně ztratit, nýbrž část jich může být znovu vyzářena při Hawkingově procesu kvantové evaporace. Jakým mechanismem by však tyto informace mohly uniknout z černé díry? Byly diskutovány dvě varianty:

• Kvantová teleportace
  Jedním z nových pozoruhodných důsledků kvantové fyziky je jev, při němž vlastnosti dvou nebo více systémů mohou přes původně společnou vlnovou funkci zůstávat ve vzájemném vztahu přes rozsáhlé oblasti prostoru a času. Toto "provázání" či "propletení" (angl. "entanglement") umožňuje tzv. teleportaci (viz §1.1 "Jaderná a radiační fyzika", pasáž "Kvantová teleportace" v pojednání "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření"), při níž je informace přenášena v prostoru a čase nezávisle na horizontech či jiných prostoročasových překážkách. Podobný mechanismus by mohl fungovat i u černých děr. Páry virtuálních částic vznikají na horizontu událostí v entanglovaném stavu, jedna z částic letí ven jakožto Hawkingovo záření, druhá padá do černé díry a v singularitě splyne s hmotou, která původně černou díru vytvořila. Při této interakci může dojít k přenosu kvantového stavu z vnitřní hmoty na pohlcenou částici, a jelikož vyzařovaná a pohlcená částice jsou stále ve vzájemném entanglovaném spojení, může dojít k přenosu informace obsažené v nitru černé díry na vystupující Hawkingovo záření. Problémem je zde však to, že absence kauzálního informačního kanálu z nitra černé díry směrem ven znemožňuje dekódování této informace z množiny jednotlivých kvantových stavů vyzářené částice.
• Superstrunový popis černé díry
  Podle teorie superstrun (viz §5.6 "Sjednocování fundamentálních interakcí. Supergravitace. Superstruny.") jsou černé díry jakýmsi obrovským "spletencem" strun či bran. Informace o hmotě (jejíž částice mají strunovou stavbu) padající do černé díry je uložena ve vlnách a excitacích těchto strun, přičemž při kvantovém vypařování může být případně vyzářena zpět.

Sám Hawking nedávno upozornil, že kvantové fluktuace by mohly zabránit vytvoření dobře definovaného horizontu událostí, jehož "stínící schopnost" vůči informacím zevnitř černé díry by pak nemusela být tak dokonalá, jak se předpokládá v rámci OTR.
Celá záležitost možnosti vyzařování informací z černé díry (jiných než souvisejících s teorémem "černá díra nemá vlasy", tj. hmotnosti, náboje a momentu hybnosti) je zatím zcela nejasná, jedná se jen o hypozézu, na kterou odborníci nemají jednotný názor.

4.6. Zákony dynamiky černých děr		4.8. Astrofyzikální význam černých děr

Vojtěch Ullmann