Kapitola 5
GRAVITACE A GLOBÁLNÍ STRUKTURA VESMÍRU:
RELATIVISTICKÁ KOSMOLOGIE
5.1. Základní východiska a principy kosmologie
5.2. Einsteinův a deSitterův vesmír. Kosmologická konstanta.
5.3. Friedmanovy dynamické modely vesmíru
5.4. Standardní kosmologický model. Velký třesk.
5.5. Mikrofyzika a kosmologie. Inflační vesmír.
5.6. Budoucnost vesmíru
5.7. Antropický princip a existence více vesmírů
5.8. Kosmologie a fyzika

5.3. Fridmanovy dynamické modely vesmíru

Je zřejmé, že reálný vesmír, alespoň v současném stádiu jeho vývoje, nelze popsat žádným z modelů založených na předpokladu statičnosti, protože v Einsteinově modelu není rudý posuv světla od vzdálených galaxií a v de Sitterově modelu zase prostor nemůže obsahovat žádnou látku ani záření. Pro modelování reálného vesmíru je proto třeba vzdát se předpokladu statičnosti (který je neslučitelný se současnými astronomickými poznatky) a vytvořit obecnější kosmologický model.

Metrika nestacionárního homogenního izotropního vesmíru
Budeme tedy uvažovat homogenní izotropní vesmír, který obecně nebude stacionární. Metrika trojrozměrného prostoru (tj. prostorová část intervalu) v takovém případě bude mít opět obecný tvar (5.4), avšak poloměr křivosti a zde bude obecně funkcí času :

(5.21)

Prostoročasovou vztažnou soustavu je přirozené zvolit tak, aby odrážela izotropii prostoru i rozložení a pohybu hmoty. Nejvhodnější je tedy lokálně "souběžná" vztažná soustava pohybující se v každém místě prostoru spolu s hmotou, která je tam obsažena. Lokální rychlost látky v takové soustavě je tedy všude rovna nule, vztažnou soustavu tvoří samotná hmota vyplňující vesmír. Veškerý pohyb hmoty je vyjádřen deformací vztažné soustavy. Časovou souřadnici je vhodné zvolit tak, aby v každém okamžiku metrika prostoru byla stejná ve všech bodech a ve všech směrech. Aby všechny směry byly ekvivalentní, komponenty g_oa metrického tenzoru musejí být v této vztažné soustavě rovny nule. Prostoročasová metrika bude mít tedy tvar ds² = g_oodx°² + dl². Koeficient g_oo je funkcí pouze x°, takže vhodnou volbou časové souřadnice lze dosáhnout g_oo=-1 (=-c²). Časová souřadnice x°, kterou můžeme označit t, pak udává vlastní čas v každém bodě prostoru. Prostoročasový interval zde bude mít jednoduchý tvar ds² = -dt² + dl².

Délkový element (5.21) se obvykle upravuje na tvar, v němž je úměrný příslušnému Eukleidovskému výrazu. To lze uskutečnit zavedením nové souřadnice r pomocí transformace r ® r/(1+r²/4a²). Prostorová metrika (5.21) pak má tvar

.

Dále, jelikož poloměr křivosti a může být použit jako přirozená jednotka pro měření vzdálenosti, je výhodné zavést nové bezrozměrné souřadnice r®r/a, x®x/a, y®y/a, z®z/a, ve kterých má délkový element tvar

(5.21')

Vzdálenost dl mezi libovolnými blízkými body je tedy úměrná a(t), takže růst nebo pokles a(t) s časem znamená zvětšování nebo zmenšování všech vzdáleností v soustavě - rozšiřování nebo smršťování veškeré hmoty. Prostoročasová metrika homogenního izotropního vesmíru může být tedy napsána ve tvaru tzv. Robertsonovy-Walkerovy metriky

(5.22)

Fridmanovy rovnice evoluce vesmíru
Tenzor energie-hybnosti kosmologického "plynu" ve všude lokálně klidové vztažné soustavě má nenulové komponenty pouze T^o_o = r.c², T¹₁ = T²₂= T³₃ = -p, přičemž v homogenním a izotropním vesmíru mohou být r a p funkcemi pouze času t. Einsteinovy rovnice (5.7) pro metriku (5.22) pak vedou po úpravě (včetně vynásobení obou stran c²) ke dvěma obyčejným diferenciálním rovnicím - Fridmanovy rovnice

(5.23a) (5.23b)

které spolu se stavovou rovnicí p = p(r) kosmologicke kapaliny umožňují určit a,p,r jako funkce času t, tj. určit evoluci vesmíru. Každá tečka nad a značí derivaci podle času. Obě tyto rovnice spolu souvisejí identitou

která je vyjádřením lokálního zákona zachování energie.

V relativistické kosmologii se místo ^.a a ä zavádějí veličiny od nich odvozené, které mohou být (aspoň v principu) přímo změřeny z astronomických pozorování. Jako míra relativní rychlosti změny poloměru křivosti, tj. míra expanze (nebo komprese), se používá Hubbleova konstanta H *)

*) Veličina H se označuje za "konstantu" pouze v tom smyslu, že je stejná pro všechna místa (nezávisí na souřadnicích); obecně však může být funkcí času. Nynější hodnota Hubbleovy konstanty se odhaduje většinou na H » (50 ¸100) km s^-1/megaparsec.

Dále se zavádí tzv. decelerační parametr q

charakterizující zpomalování nebo zrychlování expanze nebo kontrakce. Pomocí veličin H a q lze rovnice (5.23a,b) vyjádřit ve tvaru

Všimněme si nejprve případu L = 0. Z rovnice (5.23'a) je vidět, že o tom, která z variant k = 1 , 0 , -1 se může realizovat, rozhoduje znaménko 8pGr/3 - H², tj. vztah mezi hustotou hmoty a rychlostí expanze.
Případ k = 1 odpovídající uzavřenému vesmíru nastává tehdy, když 8pGr/3 > H² , tj. když střední hustota hmoty r ve vesmíru je větší než určitá "kritická hustota" r_krit

Na základě v současnosti pozorovaných rychlostí vzdalování galaxií (Hubbleovy konstanty) je tato kritická hustota přibližně 8.10^-30 g/cm³, což odpovídá jen asi 5 atomům vodíku na 1m³.

Jestliže r < r_krit, je k = -1 (jedná se o otevřený vesmír), při r=r_krit máme k = 0 (odpovídající Eukleidovskému vesmíru). Rovnice (5.23b) ukazuje, že ekvivalentním kritériem charakteru Friedmanova vesmíru je hodnota deceleračního parametru q : v uzavřeném vesmíru je q > 1/2, v otevřeném q < 1/2 a Eukleidovskému vesmíru odpovídá q = 1/2.

Rovnice (5.23a) pro k=1, L=0 má tvar ^.a² + 1 = a². 8pGr/3. V případě, že vesmír je zaplněn nekoherentním prachem, tj. p = 0, plyne z rovnice (5.23c) r.a³ = const.; jelikož objem uzavřeného vesmíru je V = 2p²a³, je součet hmotnosti v celém prostoru konstantní :

kde a_o a r_o jsou poloměr a hustota hmoty vesmíru v nějakém pevném časovém okamžiku t_o. Po zavedení nové "časové" proměnné h substutucí dh=a.dt lze řešení rovnice (5.23a) napsat v parametrickém tvaru

Grafické znázornění časové závislosti a = a(t) je tedy cykloida (obr.5.3a), kterou opisuje pevný bod na kružnici o poloměru

při jejím valení po přímce (časové ose t); parametr h je úhel valení. Hustota hmoty se přitom mění podle zákona r = 3/a²_max(1 - cosh)³ = 6H²/8pG(1+cosh). Ve Friedmanově modelu uzavřeného vesmíru zaplněného prachem s hustotou r > r_krit tedy evoluce vypadá tak (obr.5.2), že na počátku t=0 vesmír vychází ze singulárního stavu a = 0 s nulovým objemem a nekonečnou hustotou hmoty, postupně se rozšiřuje až do rozměru a = a_max, a potom se opět smršťuje do bodu a = 0.
Podle levé části obr.5.2 se evoluce vesmíru často modeluje nafukujícím se balónkem (a posléze smršťujícím se) , na jehož povrchu jsou nakresleny galaxie či kupy galaxií. Při takovém nafukování balónku se všechny body jeho povrchu od sebe vzdalují rychlostí úměrnou jejich vzájemné vzdálenosti, ve shodě s Hubbleovým zákonem (5.2). Kritické posouzení a upřesnění tohoto modelu bude diskutováno v následujícím §5.4, pasáž "Co se vlastně rozpíná?"

Obr.5.2. Časová evoluce uzavřeného vesmíru.
Vlevo: Uzavřený Fridmanovský vesmír si lze představit jako trojrozměrnou sféru, která se postupně "nafukuje" od nulového poloměru (iniciální singularita v čase t=0) do jistého maximálního poloměru, a pak se zase smršťuje do bodu (koncová singularita). Veškeré vzdálenosti Dl mezi libovolnými objekty (galaxiemi, resp. kupami galaxií) se při expanzi nebo kontrakci vesmíru zvětšují nebo zmenšují úměrně poloměru křivosti.
Uprostřed: Prostoročasový diagram uzavřeného vesmíru vnořený do fiktivního pětirozměrného prostoru.
Vpravo: Názorné zobrazení rozpínající a smršťující se hmoty během evoluce vesmíru.

Ve stádiích a® 0, tj. na počátku a na konci evoluce, však předpoklad stavové rovnice nekoherentního prachu není realistický. Naopak, látka se zde nutně stává ultrarelativistickou, takže blíže skutečnosti bude stavová rovnice p = r.c²/3. Rovnice (5.23c) pak dává r.a⁴= const. a řešení rovnice (5.23a) zde je

(grafem je polokružnice), kde a^~ = Ö(8pG.ra⁴/3c⁴) = const. = Ö(8pG.r_oa_o⁴/3c⁴). Globální charakter evoluce bude stejný jako v předchozím případě - žádný tlak látky vyplňující uzavřený vesmír není schopen singulárním bodům a = 0 zabránit.

Jestliže r < r_krit, je k= -1 - jedná se o otevřený vesmír. Pokud je zaplněn prachem, je řešení rovnice (5.23a)

kde â = 8pG.ra³/3c² = const. = 8pG.r_oa_o³/3c²). Závislost a = a(t) zde má tvar hyperboly (obr.5.3a) - poloměr křivosti a monotónně roste od nuly (singularita!) při t = 0 do nekonečna při t®Ą. Podobný obraz se dostane i při zahrnutí vlivu tlaku; pro krajní případ p = r.c²/3 je řešení

Otevřený Friedmanův vesmír má tedy rovněž singularitu, avšak pouze jedinou - iniciální.

V mezním případě r =r_krit bude k = 0, vesmír má nekonečně velký poloměr křivosti - jedná se o model s plochým prostorem (Eukleidovým). Prostoročasová metrika zde má jednoduchý tvar

přičemž časově proměnný koeficient a(t) nevyjadřuje zakřivení prostoru, ale jedná se jen o měřítkový faktor. Pro případ nekoherentního prachu (tj. malého tlaku - odpovídá pozdním fázím evoluce) rovnice (5.23c) dává r.a³ = const. a z rovnice (5.23a) vychází, že vzdálenost mezi každými dvěma body roste podle zákona

kde konstanta a₁ závisí na měřítku prostoročasové vztažné soustavy. V raných stádiích evoluce vesmíru, kdy je třeba uvažovat maximální tlak p=r/3, je r.a⁴= const. a pro expanzi dostáváme časovou závislost tvaru

Je třeba upozornit na to, že i když pro r=r_krit vychází Eukleidova metrika trojrozměrného prostoru, celý čtyřrozměrný prostoročas zde není plochý! Ploché jsou pouze určité speciální řezy (nadplochy) prostoročasu, odpovídající stejnému vlastnímu času všech částic vyplňujících vesmír.

Obr.5.3. Evoluce kosmologických modelů (časový průběh poloměru a vesmíru) v závislosti na hodnotě kosmologické konstanty L a hustotě rozložení hmoty r.
(a_E a L_E na obr. vpravo značí hodnoty poloměru vesmíru a kosmologické konstanty odpovídající Einsteinovu kosmologickému modelu)

Při zahrnutí nenulové kosmologické konstanty L se ve vesmíru objevuje navíc určitá přídavná síla (odpudivá pro L> 0 a přitažlivá při L< 0), která urychluje nebo zpomaluje rozšiřování nebo smršťování vesmíru. Tato síla nezávisí na hmotnosti a roste se vzdáleností. Z hlediska globální evoluce vesmíru má efektivní energie vakua, generovaná kosmologickým členem, důležitou vlastnost (odlišnou od látkové formy hmoty) - nezřeďuje se ani nezhušťuje při rozšiřováví či smršťování vesmíru, zachovává si konstantní hodnotu. Řešení rovnic (5.23) pak při L ą 0 vede k následujícím možnostem :

Pokud je L<0, vždy nakonec převáží přitažlivost a evoluce vesmíru má průběh podle obr.5.3b při libovolném r.
Pestřejší možnosti evoluce vesmíru vznikají při L > 0 - jsou znázorněny na obr.5.3c.
Pokud je kosmologická konstanta L menší než Einsteinova hodnota (5.15) L_E =4pGr/c², bude pro nadkritickou hustotu r > r_krit evoluce vesmíru probíhat zhruba (kvalitativně) stejně jako pro L= 0.
Při L>L_E se a(t) zvětšuje od nuly do nekonečna, avšak v určité fázi se expanze na čas výrazně zpomalí - dochází k jakési "kvazistatické fázi", během níž jsou přitažlivé síly vyváženy odpudivými ("nerozhodný" vesmír); později převládnou síly odpudivé *). Doba trvání T_st této kvazistatické fáze (během níž se poloměr křivosti vesmíru udržuje přibližně na hodnotě poloměru Einsteinova statického modelu (5.16) a = a_E) je tím delší, čím menší je rozdíl L - L_E : T_st ~ ln(L/(L-L_E)).
Při L®L_E se vesmír dostává do stavu Einsteinova statického vesmíru zmíněného v předchozím odstavci. Tento Einsteinův model je však nestabilní, protože sebenepatrnější perturbace hustoty povede k expanzi.
Pro r>r_krit a L=L_E existují dvě další řešení:
1. V nekonečně vzdálené minulosti t®-Ą bylo a= a_E, v budoucnu pak neomezená expanze;
2. Vesmír vyšel v okamžiku t=0 ze stavu a(0)= 0, načež expanduje a asymptoticky (v nekonečně vzdálené budoucnosti t®Ą) dosahuje poloměr a®a_E.
Pro L> 0 existuje, kromě zmíněných speciálních možností, též řešení, podle něhož při t= -Ą měl vesmír nekonečný poloměr, pak probíhala kontrakce do určité minimální hodnoty a_min, načež nastává neohraničená expanze.
Zmíněné zvláštnosti kosmologických modelů s nenulovou kosmologickou konstantou se čas od času používaly (a používají) při pokusech o překonání domnělých či skutečných obtíží relativistické kosmologie (vnitřních potíží i nesrovnalostí s výsledky pozorování).

Relativní W-parametrizace kosmologických modelů
Místo absolutních hodnot hustoty hmoty a kosmologické konstanty se pro modelování evoluce vesmíru často používají jejich bezrozměrné relativní poměry vzhledem k jejich příslušným význačným (kritickým) hodnotám. Zavádí se poměr skutečné hodnoty hustoty hmoty r vzhlem ke kritické hustotě:

a poměr aktuální hodnoty kosmologické konstanty L k Einsteinově hodnotě:

Fridmanova rovnice (5.23a) vyjádřená pomocí parametrů W zní:

Decelerační parametr q, zavedený vztahem (5.25), se pomocí parametrů W vyjádří:

Pro W_L= W_M/2 probíhá rozpínání konstantní rychlostí, při W_L< W_M/2 se expanze zpomaluje, při W_L> W_M/2 se rozpínání zrychluje.
  Pomocí bezrozměrných hodnot W lze snadněji testovat evoluci kosmologického modelu. Např. pro plochý model je W_M + W_L = 1. Je též možno konstruovat přehledné grafy chování kosmologických modelů v souřadnicích, na jejichž osách se vynášejí hodnoty W_M a W_L.

-----------------------------------------------------
*) Aktuální poznámka: Podle posledních astronomických pozorování vzdálených supernov se vyskytly určité indicie, že v současné době dochází ke zrychlování expanze vesmíru , že kromě temné (nezářící) látky se ve vesmíru vyskytuje i tzv. temná energie, která vykazuje "antigravitaci". Zdá se tedy, že evoluce vesmíru probíhá podle křivky na obr.5.3c, případ L>L_E (viz §5.6 "Budoucnost vesmíru.Šipka času.", pasáž "Temná energie a akcererovaná expanze vesmíru").

5.2. Einsteinův a deSitterův vesmír. Kosmologická konstanta.		5.4. Standardní kosmologický model. Velký třesk.

Vojtěch Ullmann