Kapitola 3
GEOMETRIE A TOPOLOGIE PROSTOROČASU
3.1. Geometricko-topologické vlastnosti prostoročasu
3.2. Minkowského rovinný prostoročas a asymptotická struktura
3.3. Cauchyova úloha, příčinnost a horizonty
3.4. Schwarzschildova geometrie
3.5. Reissnerova-Nordströmova geometrie
3.6. Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie
3.7. Prostoročasové singularity
3.8. Hawkingovy a Penroseovy teorémy o singularitách
3.9. Nahé singularity a princip "kosmické cenzury"

3.6. Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie

Jestliže těleso, které je zdrojem gravitačního pole rotuje, nebude již buzené vnější gravitační pole centrálně symetrické, ale může být pouze osově symetrické (pokud je distribuce hmoty-energie v rotujícím tělese symetrická vzhledem k ose rotace). Přesné řešení Einsteinových rovnic (ve vakuu) pro takový axiálně symetrický pří- pad nalezl R.Kerr [152] v r.1963; toto řešení bylo potom E.Newmanem zobecněno na případ elektrického náboje [186].

Kerrova geometrie

Kerrova geometrie je zobecněním Schwarzschildovy geometrie zhruba řečeno v tom smyslu, že Schwarzschildova geometrie je "kulová", zatímco Kerrova geometrie je obecně eliptická. V tzv. Boyerových-Lindquistových souřadnicích (které jsou eliptickým zobecněním Schwarzschildových souřadnic) [28] má prostoročasový element Kerrovy geometrie tvar

(3.37)

kde M je celková hmotnost (hmotnostní parametr), a = J/M je "specifický moment hybnosti" - celkový rotační moment hybnosti J dělený celkovou hmotností M.

Z výrazu pro prostoročasový element (3.37) je patrné (a potvrzuje to výpočet složek tenzoru křivosti Rⁱ_klm a jeho skalárního invariantu), že Kerrova geometrie má fyzikální singularitu danou vztahem

Není to však bodová singularita jako ve Schwarzschildově řešení, ale prstencová singularita, která má v rovině kolmé k ose rotace tvar kružnice s poloměrem a.

Podobně jako v Reissnerově-Nordströmově geometrii, jsou i zde tři vyznačné speciální případy lišící se globální geometrickou strukturou prostoročasu: a² < M² , a² = M² a a² > M².
Kerrova geometrie má obzvláštní důležitost pro případ M² > a², kdy popisuje vnější pole stacionárních rotujících objektů, především černých děr *). Když R.Kerr příslušné řešení odvodil [152], jistě netušil, jak toto "algebraicky speciální" řešení se ukáže důležité a obecné; ve světle teorému 4.1 "černá díra nemá vlasy" bude každá stacionární nenabitá černá díra mít Kerrovu geometrii prostoročasu.
*)Přesně to platí pouze pro černou díru, kdy Kerrova geometrie je vakuovým řešením Einsteinových rovnic. Nalézt však materiální zdroj přesné Kerrovy geometrie, vedoucí podle Einsteinových rovnic k plynulému přechodu vnitřní metriky k vnější Kerrově metrice, není nikterak snadné. Tvar takového elipsoidního rotujícího zdroje a distribuce hmoty v něm musí splňovat určité velmi speciální podmínky [82]. Kolem rotujících materiálních těles (planet, hvězd, galaxií) je tedy gravitační pole jen přibližně Kerrovské.

V uvažovaném případě a² < M² existují dvě hodnoty r, pro něž je ve jmenovateli prostorové části metriky v (3.37) r²-2Mr+a² rovno nule:

Jsou zde tedy opět (podobně jako v Reissnerově-Nordströmově geometrii) přítomny dva horizonty - vnější horizont událostí r = r_g⁺ a vnitřní horizont r = r_g^- (který je Cauchyovým horizontem), na nichž je metrika (3.37) pseudosingulární. Každý objekt potřebuje k dosažení horizontu nekonečně dlouhý souřadnicový čas (avšak konečný interval vlastního času) a navíc též nekonečný úhel (j ®Ą) - vlivem strhávání inerciálních soustav momentem hybnosti (viz §4.4) musí vykonat nekonečně mnoho oběhů kolem horizontu.

K odstranění této souřadnicové pseudosingularity (tj. k analytickému prodloužení metriky přes tyto plochy) se používá přechodu ke Kerrovým souřadnicím [127],[41] (v₊,r, J,j^~₊) transformací

Tato transformace provádí nekonečné "stlačení" souřadnicového času t a nekonečné "rozkroucení" úhlové souřadnice j v okolí horizontu. Metrika (3.37) pak má v Kerrových souřadnicích tvar

(3.40)

který je již analytický na r=r_g⁺ a r=r_g^-. Úplná analytická extenze se získá kombinací této metriky v souřadnicích (v₊,r, J,j^~₊) a analogické metriky v souřadnicích (v_-,r, J, j^~_- ) daných transformací
dv_- = dt - [(r²+a²)/(r-2Mr+a)].dr, dj^~_- = dj - [a/(r²-2Mr+a²)].dr.

Konformní prostoročasový diagram této úplné extenze Kerrovy geometrie je na obr.3.25a. Globální struktura je zde podobná struktuře Reissnerova-Nordströmova prostoročasu (srovnej s obr.3.21 v §3.5), poněkud odlišná je však povaha skutečné singularity r=0. Ukazuje se, že v Kerrově prostoročase má tato singularita prstencovou strukturu a je možno přes ni extrapolovat geometrii do záporných hodnot radiální souřadnice r [43],[28].

Obr.3.25. Konformní prostoročasový diagram úplné extenze Kerrovy geometrie podél osy symetrie.
a) Případ M² > a² > 0 . b) Případ M² = a² (extrémní Kerrova geometrie). c) Případ a² > M² (Kerrova nahá singularita).

V případě M² = a² je r_g⁺ = r_g^- = M , vnitřní a vnější horizont spolu splývají. Úplná extenze této metriky znázorněná na obr.3.25b má opět podobnou strukturu jako Reissnerova-Nordströmova geometrie při M²=Q² s tím rozdílem, že je možné analytické prodloužení přes prstencovou singularitu do záporných r. Kerrova metrika v tomto případě popisuje prostoročasovou geometrii extrémní Kerrovy černé díry (§4.4).

Pro a² > M² je metrika (3.37) singulární pouze pro r=0, což je skutečná singularita s prstencovou strukturou. Přes vnitřek této prstencové singularity lze řešení analyticky prodloužit do záporných hodnot r (obr.3.25c). Žádný horizont zde není a singularita proto může oboustranně "komunikovat" s celým okolním prostoročasem - jedná se o Kerrovu nahou singularitu (viz §3.9 a 4.4).

Kerrova - Newmanova geometrie

Další zobecnění dostaneme, jestliže budeme uvažovat přítomnost osově symetrického elektromagnetického pole, tj. rotující axiálně symetrický zdroj bude mít elektrický náboj, který je rovněž axiálně symetricky rozložen. Geometrie prostoročasu kolem takového objektu se nazývá Kerrova-Newmanova geometrie [186]; je to fakticky zkombinovaná Kerrova a Reissnerova-Nordströmova geometrie. Element prostoročasového intervalu (v Boyerových-Lindquistovýeh souřadnicích) má tvar

(3.41)

kde Q je celkový elektrický náboj měřený vzdáleným pozorovatelem (buď pomocí toku vektoru elektrické intenzity E uzavřenou plochou, nebo pomocí analýzy trajektorií nabitých testovacích částic). Stejně jako u Kerrova řešení, je i zde geometrie prostoročasu stacionární a axiálně symetrická. Vnější horizont r = r_g⁺ (horizont událostí) a vnitřní horizont r = r_g^- (Cauchyho horizont) mají poloměry

(3.42)

Pozn.: Horizont událostí r = r_g⁺ se též někdy označuje jako Killingův horizont, neboť Killingovo vektorové pole x_o ş ¶/¶t (zavedené v §2.4), jeho časová složka, zde mění prostoročasový chrakter: vně horizontu je časového typu, zatímco uvnitř horizontu nabývá prostorový charakter.

Globální geometrická struktura Kerrova-Newmanova prostoročasu je analogická jako u výše popsané Kerrovy geometrie. Jsou zde opět tři speciální případy:
a²+Q² < M² (černá díra) ,
a²+Q² = M² (extrémní Kerrova-Newmanova geometrie) ,
a²+Q² > M² (nahá singularita) .

Carter [43] ukázal, že v okolí prstencové singularity je oblast, v níž g_jj< 0; zde axiální Killingův vektor ¶/¶j nabývá časový charakter, takže se zde objevují uzavřené světočáry časového typu (např. kružnice t=const, r=const, J =const). V těchto oblastech kolem singularity tedy může dojít k porušení kauzality. Posouzení fyzikálního významu některých aspektů úplné extenze Kerrovy-Newmanovy geometrie pro černé díry je v zúvěru §4.4, pro nahé singularity v §3.9.

Velký význam Kerrovy-Newmanovy geometrie spočívá v tom, že je nejobecnějším řešením pro stacionární axiálně symetrický asymptoticky rovinný prostoročas který má horizont událostí, tedy nejobecnějším řešením popisujícím černou díru - v duchu teorému "černá díra nemá vlasy",viz §4.5.

Pohyb testovacích částic (obecně nabitých) v obecném Kerrově-Newmanově prostoročase je podstatně komplikovanější než ve Schwarzschildově geometrii. I ve speciálním případě, když pohyb se bude dít jen v ekvatoriální rovině a nebudeme uvažovat elektrický náboj, bude trajektorie testovací částice v blízkosti horizontu (zvláště v ergosféře, viz §4.4) rozhodujícím způsobem záviset mimo jiné na tom, zda moment hybnosti částice má souhlasný nebo opačný směr vzhledem k momentu hybnosti J (tj. pohybuje-li se částice ve směru nebo proti směru rotace zdroje Kerrova pole).

Pohyb nabitých testovacích částic v důsledku působení elektromagnetických sil již obecně nebude probíhat po geodetikách; na pravé straně rovnice geodetiky bude místo nuly figurovat Lorentzova síla :

(3.43)

kde q je elektrický náboj testovací částice a Fik je tenzor elektromagnetického pole spolupůsobícího jako zdroj dané Kerrovy-Newmanovy geometrie.

Analýza pohybu testovacích částic v Kerrově-Newmanově poli se většinou provádí nikoli ze základní rovnice (3.43), ale pomocí jí ekvivalentních Hamiltonových-Jacobiho rovnic [165],[43], z nichž se snadněji na základě symetrie stanovují integrály pohybu. Výsledné rovnice pohybu testovací částice s nábojem q, klidovou hmotností m_o, energií E vzhledem k nekonečnu, axiální složkou momentu hybnosti L_j a složkou p_J hybnosti odvodil Carter [43],[181] :

Jelikož gravitační i elektromagnetické pole je stacionární a axiálně symetrické (tj. jak složky metriky g_ik, tak čtyřpotenciál Ak nezávisí na t a na j), budou při pohybu testovací částice následující veličiny konstantami (integrály) pohybu: energie E vzhledem k nekonečnu, axiální složka L.. momentu hybnosti vzhledem k ose symetrie, elektrický náboj q částice a její klidová hmotnost mo (která v každém bodě trajektorie souvisí se čtyřhybností částice vztahem m_o =(-g^ikp_ip_k)^1/2). Další integrál pohybu, který neplyne z uvedených symetrií, nalezl Carter [43]:

protože tuto veličinu v dalším nebudeme potřebovat, do rovnic pohybu (3.44) jsme ji nezavedli.

Obecnou analýzu pohybu částic v Kerrově-Newmanově prostoročase na základě rovnic (3.44) zde provádět nebudeme, zájemce může najít podrobnosti např. v [8],[81],[237]. Některých důsledků plynoucích za patřičných podmínek z rovnic (3.44) pro pohyb částic v Kerrově-Newmanově prostoročase však použijeme v §4.4, kde si rozebereme fyzikálně nejdůležitější aspekty Kerrovy-Newmanovy geometrie (jako je efekt strhávání lokálních lokálních inerciálních soustav, existence ergosféry, Penroseův proces, superradiace a podobně) v souvislosti s vlastnostmi černých děr.

3.5. Reissnerova-Nordströmova geometrie		3.7. Prostoročasové singularity

Vojtěch Ullmann