h1{font-size:18px;}

Gravitace – zrychlení - relativita

Kapitola 2
OBECNÁ TEORIE RELATIVTITY
- FYZIKA GRAVITACE
2.1. Zrychlení a gravitace z hlediska speciální teorie relativity
2.2. Univerzálnost - základní vlastnost a klíč k pochopení podstaty gravitace
2.3. Lokální princip ekvivalence a jeho důsledky
2.4. Fyzikální zákony v zakřiveném prostoročase
2.5. Einsteinovy rovnice gravitačního pole
2.6. Deviace a fokusace geodetik
2.7. Gravitační vlny
2.8. Specifické vlastnosti gravitační energie
2.9.Geometrodynamická soustava jednotek
2.10. Experimentální ověřování teorie relativity a gravitace

Stručná předmluva ke kapitole 2 :
Obecná teorie relativity (OTR) je teorie gravitace, vyvinutá A. Einsteinem jako pokračování a zobecnění jeho speciální teorie relativity (STR). OTR popisuje, jak masivní objekty, jako jsou hvězdy a planety, způsobují zakřivení prostoročasu kolem nich, což způsobuje, že ostatní objekty se zde pohybují po zakřivených drahách. Toto zakřivení časoprostoru vnímáme jako gravitaci. Obecně přítomnost hmoty a energie určuje zakřivení prostoročasu. Einsteinovy rovnice pole, zobecňující klasický Newtonův gravitační zákon, spojují toto zakřivení s rozložením hmoty a energie. Dialektiku OTR lze zjednodušeně vyjádřit větou: "Hmota diktuje prostoročasu jak se má zakřivovat a zakřivený prostoročas diktuje hmotě jak se má pohybovat".
  Jsou studovány fyzikální zákony v zakřiveném prostoročase gravitačního pole - pohyb částic a šíření světla, gravitační dilatace času, strhávání lokálních inerciálních soustav momentem hybnosti rotujících těles, gravitační elektrodynamika a optika. Buzení gravitačního pole hmotou~energií, specifické vlastnosti gravitační energie. Rychlost šíření gravitace, vyzařování gravitačních vln při zrychleném pohybu (především orbitálním), detekce gravitačních vln a jejich astrofyzikální význam.

2.1. Zrychlení a gravitace z hlediska speciální teorie relativity

Speciální teorie relativity, i přes její obrovský přínos pro téměř všechny oblasti fundamentální fyziky, má dvě zásadní omezení (které, jak uvidíme dále, spolu vzájemně souvisejí) :

• l. Popisuje fyzikální zákony pouze z hlediska inerciálních vztažných soustav.
• 2. Neumožňuje důsledný popis gravitace.

V praxi jsme často nuceni sledovat fyzikální procesy z neinerciálních vztažných soustav. Ukazuje se, že pouze přirozeným formálním zobecněním lze v rámci speciální teorie relativity studovat fyzikální zákony i v neinerciálních soustavách, takže první nedostatek by nebyl tak závažný. Závažnější je druhý nedostatek: za přítomnosti gravitace neexistují inerciální vztažné soustavy a speciální teorie relativity je zde globálně nepoužitelná. Jak ale uvidíme dále, díky těsné souvislosti mezi gravitací a setrvačností si speciální teorie relativity v gravitačním poli zachovává lokální platnost; to umožňuje vybudování relativistické fyziky gravitace a prostoročasu - Einsteinovy obecné teorie relativity.

Všechna fyzikální měření a pozorování přírodních jevů vůbec jsou ve své podstatě vlastně založeny na stanovování prostorových a časových relací, tedy na zjišťování prostoročasových koincidencí mezi událostmi. Každé elementární události (bodu prostoročasu) je přiřazena čtveřice čísel - souřadnice daného bodu - přičemž toto přiřazení se požaduje vzájemně jednoznačné a spojité. Koincidence dvou prostoročasových události pak bude vyjádřena rovností jejich souřadnic. Splývají-li takto dvě prostoročasové události v jedné souřadnicové soustavě, musejí být tyto události totožné i v libovolné jiné souřadnicové soustavě. Soustava prostoročasových souřadnic je věcí volby a proto nemá žádný vztah k fyzikálnímu obsahu teorie. Můžeme tak vyslovit přirozený požadavek, aby fyzikální zákony platné v nějaké vztažné soustavě platily i v každé jiné vztažné soustavě: "všechny fyzikální zákony mají stejný tvar v libovolné vztažné soustavě". Toto je Einsteinův obecný princip relativity (zobecnění speciálního principu relativity), který vyjádřen matematicky zní: "všechny fyzikální zákony lze zapsat ve tvaru invariantním (kovariantním) vzhledem k transformacím prostoročasových souřadnic".

Speciální teorie relativity, která operuje většinou s inerciálnimi vztažnými soustavami, je schopna popisovat vlastnosti i nerovnoměrně se pohybujících objektů (relativistická dynamika). Vztažné soustavy spojené s nerovnoměrně (zrychleně) se pohybujícími tělesy nejsou inerciální, takže mezi nimi není přímo použitelná Lorentzova transformace. Avšak "ideální" *) (dostatečně pevné a odolné) hodiny, s nimiž pozorovatel v takové neinerciální soustavě měří čas, nemění svou strukturu a vlastnosti vlivem zrychlení, takže tyto hodiny půjdou stejně rychle jako inerciální hodiny pohybující se v daném okamžiku spolu s pozorovatelem. Podobně "ideální" (dostatečně tuhé) měřící tyče neinerciálního pozorovatele budou ukazovat stejné délky jako tyče pohybující se momentálně inerciálně spolu s ním. Tedy intervaly prostoru a času měřené v tomtéž místě různými pozorovateli závisí pouze na jejich (okamžitých) vzájemných rychlostech, nikoliv na jejich zrychlení. Z hlediska pozorovatele v inerciálni soustavě je možno neinerciální (zrychlenou) vztažnou soustavu považovat za spojitou posloupnost jednotlivých inerciálních soustav, takže vztah prostoročasových souřadnic bude dán Lorentzovými transformacemi s plynule proměnnými rychlostmi.
*) Pod ideálními hodinami a měřícimi tyčemi rozumíme to, rychlost chodu hodin a délka tyčí nejsou ovlivňovány neuniverzálními vlivy jako je teplota či působící síly, nebo je na tyto neuniverzální vlivy provedena korekce.

To, že zákony speciální teorie relativity platí i při obrovských zrychleních vyššich než asi 10³⁰ cm/s², tj. že prostoročasové relace, hmotnost, energie, hybnost atd., nezávisí na okamžitém zrychlení, ale pouze na okamžité rychlosti, se s vysokou přesností potvrzuje experimentálně při rozptylu částic o vysokých energiích [229].

Obecný princip relativity, křivočaré souřadnice, metrický tenzor
Obecný princip relativity tedy tvrdí, že nejen systémy (pseudo)kartézských prostoročasových souřadnic spojené s inerciálními vztažnými soustavami, ale i libovolné jiné soustavy prostoročasových souřadnic, jsou pro formulaci fyzikálních zákonů zcela rovnocenné. Na první pohled se zdá, že obecný princip relativity odporuje zkušenosti, protože v neinerciálních vztažných soustavách se objevují "fiktivní" setrvačné síly ovlivňující pohyb těles a průběh fyzikálních dějů. Původ takových sil však lze v rámci STR snadno vysvětlit a vlastnosti těchto zdánlivých sil (jejich vliv na fyzikální jevy) mohou být vyjádřeny obecně invariantními rovnicemi.

V inerciální vztažné soustavě S^~ v kartézských souřadnicích x^~i má element prostoročasového intervalu tvar

ds²   =   h_ik dx^~i dx^~k   .    

Přejdeme-li k libovolné soustavě prostoročasových souřadnic xⁱ v obecně neinerciální vztažné soustavě S pomocí transformace xⁱ = xⁱ(x^~k), bude v těchto nových souřadnicích xⁱ prostoročasový interval mít tvar

kde

Jelikož vztažné soustavy S^~ a S se vzhledem k sobě pohybují se zrychlením, transformace S®S^~ nebude pevnou Lorentzovou transformací a veličiny ¶x^~m/¶x^k budou obecně funkcemi místa a času. Neinerciální vztažné systémy jsou z matematického hlediska vlastně soustavami křivočarých prostoročasových souřadnic. Místo konstant h_ik se zde objevují nové veličiny g_ik(x ^j), jejichž funkční závislosti na souřadnicích x ^j charakterizují vztah soustavy S s novými souřadnicemi x ^j k původní inerciální soustavě S^~ s kartézskými souřadnicemi x^~j. Protože tyto veličiny g_ik udávají předpis jak pomocí rozdílů souřadnic měřit skutečné vzdálenosti v prostoročase, nazývají se v diferenciální geometrii metrický tenzor.
Metrický tenzor má klíčový význam v obecné teorii relativity - popisuje gravitaci jakožto geometrii zakřiveného prostoročasu. Platí o něm v podstatě totéž, co bylo v §1.6 (poznámka v části "Geometrie prostoročasu. Čtyřtenzory") řečeno o prostoročasovém intervalu: Jestliže známe prostoročasový interval, tj. závislost elementu ds² na souřadnicích, víme o prostoročasu "všechno" a můžeme pomocí toho zkoumat, jak se v něm budou pohybovat tělesa (částice) a šířit světlo (fotony). Jinými slovy, známe metrický tenzor g_ik a rovnice geodetických čar - trajektorií volných částic v gravitačním poli (§2.4 "Fyzikální zákony v zakřiveném prostoročase").

Rovnice pohybu volné testovací částice v inerciální soustavě S^~ : d²x^~i/ds² = 0, vyjádřená v obecné vztažné soustavě S (tj. v křivočarých prostoročasových souřadnicích xⁱ) má tvar

d²xⁱ/dt² + (¶xⁱ/¶x^~m).(¶²x^~m/¶x^k¶x^l).(dx^k/dt).(dx^l/dt)   =   0   .

Tato rovnice je invariantní vzhledem k libovolné transformaci souřadnic xⁱ®x'ⁱ (při použití soustavy souřadnic x'ⁱ dostaneme rovnici stejného tvaru, v níž x jsou nahrazeny x'). Rovnice pohybu volné hmotné částice při použití obecných (křivočarých) prostoročasových souřadnic xⁱ (v obecně neinerciální vztažné soustavě) má tedy tvar

(2.2a)

kde veličiny G_kⁱ_l lze vyjádřit pomocí metrického tenzoru:

(2.2b)

Tyto veličiny (popisující působení "zdánlivých" setrvačných sil na pohyb částice) obsahují složky metrického tenzoru a jeho derivace; nazývají se Christoffelovy koeficienty afinní konexe (jejich význam bude ukázán v §2.4). Rovnice (2.2a) se nazývá rovnice geodetiky (zde se však samozřejmě jedná o přímku vyjádřenou jen v křivočarých souřadnicích).

Vidíme tedy, že pomocí veličin g_ik (tj. pomocí metriky) lze zachytit i zdánlivé síly působící na hmotná tělesa v neinerciálních vztažných soustavách S. Podobně všechny ostatní fyzikální zákony (např. zákony elektrodynamiky) lze vyjádřit v obecně invariantním tvaru platném v libovolné vztažné soustavě S - viz §2.4. V takto zapsaných rovnicích explicitně figurují též složky metrického tenzoru g_ik a jejich derivace podle souřadnic. Přítomnost složek g_ik ve fyzikálních zákonech vyjadřuje vliv zdánlivých setrvačných sil, např. jejich působení na pohyb těles nebo na elektromagnetické jevy. V rámci speciální teorie relativity lze tak vybudovat obecně invariantni teorii zdánlivých setrvačných sil a jejich vlivu na všechny obecné fyzikální zákony (kromě gravitace).

Obecný princip relativity vzatý izolovaně je však fyzikálně bezobsažný, protože každý fyzikální zákon lze formálně přepsat tak, aby vyhovoval obecnému principu relativity (měl stejnou formu ve všech vztažných soustavách) aniž se nějak rozšíří nebo prohloubí fyzikální význam tohoto zákona. Teprve spojení s principem ekvivalence, který fiktivní setrvačné síly v neinerciálních soustavách staví na roveň skutečně existujícím gravitačním silám, dává obecnému principu relativity hluboký fyzikální význam: vede od obecně invariantní teorie zdánlivých setrvačných sil k Einsteinově teorii gravitace.

Po vzniku speciální teorie relativity se stalo jasné, že každý fyzikální zákon který si chce činit nároky na obecnost a správnost, musí vyhovovat principům STR. Reformulaci základních zákonů klasické Newtonovy dynamiky provedl Einstein hned při sestavování své speciální teorie relativity; kromě takových jevů jako je dilatace času a kontrakce délek se objevily dalši zajímavé efekty - závislost hmotnosti na rychlosti, vztah ekvivalence hmotnosti a energie a další s tím související důsledky. Zákony elektrodynamiky žádnou reformulaci nepotřebovaly, Maxwellovy rovnice již ve svém klasickém tvaru jsou Lorentz-invariantní (na základě elektrodynamiky vlastně STR vznikla). Speciální teorie relativity však umožnila lépe pochopit hluboké souvislosti mezi jednotlivými zákony elektrodynamiky (viz §1.5 a 1.6).

Relativistické zobecnění Newtonovy gravitace?
Jiná je situace s Newtonovým gravitačním zákonem, který nejen že není relativisticky invariantní, ale je v přímém rozporu i s druhým základním principem STR - s principem existence konečné maximální možné rychlosti šíření interakcí. Newtonův gravitační zákon vyjádřený pomocí Poissonovy rovnice Dj = 4pGr neobsahuje žádné časové derivace. Podle tohoto zákona tedy gravitační pole j(x,y,z,t) v nějakém místě (x,y,z) v okamžiku t je dáno okamžitým rozložením hmoty r (x,y,z,t) v celém prostoru v tomtéž okamžiku t. Změna v distribuci hmoty v nějakém místě se projeví okamžitě na gravitačním poli v celém prostoru - rozruch v Newtonově gravitačním poli se šíří nekonečně rychle. Newtonův gravitační zákon je založen na představě okamžitého působení na dálku a nutně je tedy jen přibližným zákonem použitelným pouze při malých rychlostech a ne příliš velkých hmotnostech (aby gravitační pole bylo slabé).

Snahy o relativistickou reformulaci Newtonovy teorie gravitace se datují od prvopočátků teorie relativity. Přirozeně se přitom vycházelo z Maxwellovy elektrodynamiky, která byla v té době (a je jím vlastně dodnes) vzorem konzistentní, dokonale propracované a ucelené relativisticky invariantní teorie pole, navíc dobře ověřené v praxi. V §1.4 jsme si ukázali těsnou analogii mezi Newtonovým gravitačním zákonem a Coulombovým zákonem elektrostatiky. Jelikož Maxwellova elektrodynamika je zobecněním Coulombovy elektrostatiky, lze očekávat, že podobné zobecnění Newtonova zákona povede ke správné relativistické teorii gravitace. Na tomto předpokladu jsou více či méně založeny všechny pokusy o zahrnutí gravitačních jevů do speciálni teorie relativity.

Přímočarý způsob relativistického přepisu Newtonova gravitačního zákoná je modifikace (zobecnění) Poissonovy rovnice (1.28'). Nejjednodušší verze se snaží zachovat skalární charakter Poissonovy rovnice: gravitační pole se popisuje prostoročasovým skalárním potenciálem j(x), přičemž jeho zdrojem bude rovněž skalární veličina charakterizujicí rozložení klidové hmotnosti. Hustota rozložení klidové hmotnosti r_o(x) je ve speciální teorii relativity rovna r_o = Tⁱ_i/c² , takže gravitační pole bude ve skalární teorii gravitace buzeno podle rovnice G(j, j_,k , j_,k,l) = K.Tⁱ_i . Tvar funkce G se určí z požadavku Lorentz-invariantnosti, platnosti principu superpozice a platnosti Newtonova zákona pro statický případ. Gravitační zákon v této Nordströmově teorii gravitace [191] má tvar d'Alembertovy rovnice

o j   =   - (4pG/c²) . T^j_j   ,    

(kde o ş h^ik ¶²/¶xⁱ¶x^k je d'Alembertův diferenciální operátor), která je zobecněním Poissonovy rovnice (1.28'). Řešením této d'Alembertovy rovnice je tedy retardovaný potenciál

vyjadřující (časovou proměnnou nikoli t, ale t-r'/c) konečnou rychlost šíření gravitačního pole, rovnou rychlosti světla, podobně jako v elektrodynamice - srovnejme se vztahem (1.47) v §1.5.

Nepoužitelnost Nordtrömovy skalární teorie gravitace pramení především z toho, že gravitační pole je v ní buzeno pouze klidovou hmotností r_o = Tⁱ_i, což odporuje principu ekvivalence. Víme, že např. elektromagnetická energie obsažená v tělese přispívá k jeho tíhové hmotnosti (Eötvösův pokus - viz následující odstavec). Rovněž známé pozorování ohybu světelných paprsků v gravitačním poli ukazuje, že fotony s nulovou klidovou hmotností (mající pouze elektromagnetickou energii) mají nenulovou tíhovou hmotnost a vykazují gravitační interakci. Dále, pohybové rovnice ve skalární teorii vedou sice ke stáčení perihelia Merkura, avšak toto stáčení je asi šestkrát menší a hlavně opačného směru než se pozoruje [16].

Další způsob zobecnění Newtonova gravitačního zákona pochází od Lorentze , který jej vypracoval dokonce ještě před vznikem speciální teorie relativity. Tato vektorová teorie gravitace je téměř přesnou kopií elektrodynamiky a označuje se někdy jako "Maxwellovská teorie gravitace". Gravitační pole je zde popsáno gravitačním čtyřpotenciálem yⁱ = (j,y) obsahujícím běžný gravitační potenciál j jako jednu ze složek, který je podobně jako v elektrodynamice svázán Lorentzovými kalibračními podmínkami y^k_,k = 0. Z tohoto čtyřpotenciálu se vytvoří antisymetrický tenzor intenzity gravitačniho pole G_ik = ( ¶y_k/¶xⁱ) - (¶y_i/¶x^k). Jako zdroj tohoto gravitačního pole se bere nekoherentní hmotný prach, v němž hustota klidové hmotnosti je popsána skalárním polem r_o(x^j) a distribuce pohybu polem čtyřrychlosti Vⁱ(x_j). Čtyřvektor (hustoty) proudu hmoty je potom jⁱ(x) = r_o.Vⁱ = (r , r.v), kde r(x) = r_o/ Ö(1-v²/c²) je hustota hmoty, v(x) rychlost v daném místě x. Gravitační pole je ve vektorové teorii buzeno čtyřproudem hmoty jⁱ podle rovnic

¶G_ik/¶x^k    =    (4pG/c) jⁱ    .      

Z těchto rovnic stejně jako v elektrodynamice plynou d'Alembertovy vlnové rovnice žyⁱ = (4pG/c) jⁱ a tedy existence gravitačních vln šířících se rychlostí c. Pohybové rovnice testovací částice d²xⁱ/dt² = (G/c)G^ik dx_k/dt ukazují, že všechna hmotna tělesa se v daném gravitačním poli pohybují se stejným zrychlením.

Nastíněná vektorová teorie gravitačního pole má dvě zásadní nevýhody. První spočívá v tom, že jako zdroj gravitačního pole lze použit pouze nekoherentní hmotný prach, popř. bodové hmotné zdroje; pro jiné modely zdrojů (např. pole) nelze dobře a jednoznačně definovat čtyřvektor proudu hmoty jⁱ. Ještě závažnější je druhý nedostatek: zformulují-li se zákony zachování energie a hybnosti pro soustavu složenou z hmotného prachu a jím buzeného (podle výše uvedených rovnic) gravitačního pole, vychází hustota energie gravitačního pole záporná; totéž platí i o energii přenášené gravitačními vlnami. I když odhlédneme od logických potíží a nesrovnalostí vznikajících již na klasické úrovni, je tento výsledek nepřípustný z hlediska relativistické kvantové teorie pole, která vyžaduje pozitivní definitnost energie tenzorových polí popisujících částice s celočíselnými spiny .

Společnou příčinou neúspěšnosti skalární a vektorové teorie gravitace bylo hlavně to, že jako zdroj se brala jen část tenzoru energie-hybnosti budící hmoty. Vezmeme-li jako zdroj gravitačního pole celý tenzor energie-hybnosti T^ik a dáme jej na pravou stranu zobecněné Poissonovy rovnice (1.28''), mělo by být i buzené gravitační pole popsáno symetrickým tenzorem y^ik. V takové tenzorové teorii gravitace (stále v rámci STR) bude gravitační pole buzeno podle invariantní soustavy tenzorových rovnic

kde T^ik_(m) je tenzor energie-hybnosti všech těles, látek a polí s výjimkou samotného pole gravitačního. Podobně jako v elektrodynamice se zavádějí dodatečné podmínky y^ik_,k = 0 analogické Lorentzově podmínce. Rovnice pohybu testovací částice jsou

Ani speciálně relativistická tenzorová teorie gravitace ještě není dokonalá a správná: plyne z ní diferenciální zákon zachování T^ik_(m),k= 0, který nebere v úvahu gravitační pole a mohl by platit jen tehdy, kdyby nebylo žádné gravitační působení. Ve skutečnosti ale musí platit zákon zachování (T^ik_(m) + T^ik_(g))_,k = 0 pro celkový (úhrnný) tenzor energie-hybnosti, který zahrnuje též energii a hybnost gravitačního pole. Tedy zdroj na pravé straně rovnice (2.3b) by měl být celkovým tenzorem energie-hybnosti včetně gravitačního pole. Gupta [111] ukázal, že tato cesta již může vést k uspokojivé relativistické teorii gravitace. Protože přesný výraz pro tenzor energie-hybnosti gravitačního pole by bylo možno určit jen na základě přesných rovnic pole, které v rámci dané teorie nejsou známy, je třeba užít metody postupných aproximací. Tenzor energie-hybnosti gravitačního pole ^oT^ik_(g) vypočítaný z rovnic (2.3a) v nulté aproximaci se přidá k pravé straně (2.3a), z této rovnice v první aproximaci se spočte nový (upřesněný) tenzor energie-hybnosti ¹T^ik_(g), jehož použitím v rovnicích (2.3a) vznikne druhá aproximace s ještě přesnějším tenzorem energie-hybnosti gravitačního pole ²T^ik_(g) a tak dál. Tímto postupem lze získat (i když jsou zde problémy s jednoznačností) správné Einsteinovy rovnice gravitačního pole, které jsou - na rozdíl od výchozích rovnic (2.3a) - již nelineární (viz §2.5).

To ale neznamená, že gravitační jevy lze uspokojivě popsat v rámci speciální teorie relativity. Rovnice pohybu testovacích částic v gravitačním poli (2.3b) zde totiž ukazuje, že na těchto světočárách není splněna speciálně relativistická podmínka h^ik(dxⁱ/dt)(dx^k/dt) = -c² a vlastní čas zde již nesouvisí s prostoročasovými souřadnicemi vztahem dt² = - (1/c).h_ik dxⁱdx^k. Element prostoročasového intervalu (a tím i vlastní čas) je dán vztahem ds² = -c²dt² = g_ik(x)dxⁱdx^k, kde g_ik = h_ik - (2G/c²)y_ik. Tedy čas (chod standartních hodin) v daném místě závisí nejen na rychlosti jejich pohybu, ale i na potenciálech gravitačního pole v tomto místě; podobně gravitační pole ovlivňuje i délková měřítka. V geometrické terminologii to znamená, že gravitační pole ovlivňuje geometrické vlastnosti prostoročasu - prostoročas se stává obecně zakřiveným Riemannovským. Dospíváme tak k poznatku, že uspokojivý výklad gravitačních jevů si vyžaduje revizi základních fyzikálních pojmů speciální teorie relativity, včetně nového pohledu na strukturu prostoru a času [247].

V dalším uvidíme, že k tomuto závěru (který zde plyne z poměrně komplikovaného rozboru speciálně relativistické teorie gravitace) lze dojít přímo na základě jednoduchých úvah o univerzálnosti gravitace a teprve potom odvodit již rovnou správné rovnice gravitačního pole - Einsteinovy rovnice.

Neinerciální vztažné soustavy - "most" mezi speciální a obecnou teorií relativity
Vraťme se ještě k neinerciálním soustavám. Z hlediska inerciální vztažné soustavy STR má prostor (trojrozměrný) Eukleidovu geometrii. Avšak i v Minkowskiho pseudoeukleidovském prostoročase speciální teorie relativity se v neinerciálních vztažných soustavách geometrie trojrozměrného prostoru stává neeukleidovskou! Snadno to lze ukázat na rotující vztažné soustavě (obr.2.l). Mějme zpočátku nerotující rovný kotouč, jehož střed O tvoří počátek inerciální vztažné soustavy S. Pozorovatel, který pomocí (dostatečně krátkých) ideálních měřících tyčí měří rozměry tohoto kruhového disku, změří jeho poloměr r a obvod l = 2pr v souladu s Eukleidovou geometrií. Pak disk roztočíme kolem jeho středu s úhlovou rychlostí w vzhledem k inerciální vztažné soustavě. Jsou-li měřicí tyče i samotný disk dostatečně tuhé ("ideální"), lze roztažení odstředivou silou zanedbat a pozorovatel na rotujícím kotouči pomocí radiálně přikládaných měřících tyčí naměří stejný poloměr r disku jako kdyby rotace nebylo. Sleduje-li však inerciální pozorovatel z S^~ měřící tyče, které experimentátor na rotujícím disku přikládá k jeho obvodu za účelem změření délky obvodu l, pak tyto tyče se pohybují ve směru své délky obvodovou rychlostí w.r. Podle speciální teorie relativity bude každá taková tyč Ö(1-w²r²/c²) - krát kratší než v klidu. Pozorovatel na rotujícím disku proto zjistí, že mezi poloměrem a obvodem kruhového disku platí vztah

2p r
l = ---------------- .
Ö(1 - w²r²/c²)

Obr.2.1. Vznik neeukleidovské geometrie prostoru v neinerciální vztažné soustavě.
a) Mezi poloměrem a obvodem kruhového nerotujícího disku platí běžný vztah l = 2pr.
b) Při měření na rotujícím disku jsou obvodové měřící tyče (na rozdíl od nezměněných radiálních tyčí) zkráceny vlivem Lorentzovy kontrakce délek, na obvod se jich proto "vejde" více a poměr mezi délkou kružnice a jejím poloměrem bude větší než 2p - prostorové měření vykazuje neeukleidovskou geometrii.

Poměr mezi délkou kružnice a jejím poloměrem je zde různý od 2p, prostorová geometrie rotujícího disku je neeukleidovská. Vnější inerciální pozorovatel to vysvětlí kinematicky pomocí Lorentzových kontrakcí speciální teorie relativity, zatímco vnitřní pozorovatel rotující spolu s diskem (pro něhož budou všechny části disku v klidu) to bude považovat za důsledek "setrvačných" sil působících na všechna tělesa. Prohlásí, že tyto setrvačné síly odchylují geometrii prostoru od Eukleidovy, přičemž míra této neeukleidovosti (zakřivení) prostoru je dána velikostí těchto setrvačných sil, tj. odstředivou silou w²r.

Tedy prostorová geometrie v neinerciálních vztažných soustavách není obecně eukleidovská, nelze zde sestrojit kartézskou soustavu prostorových souřadnic. Geometrie čtyřrozměrného prostoročasu zde však zůstává eukleidovská - vhodnou transformací se lze vždy vrátit k inerciální soustavě s (psedo)kartézskými prostoročasovými souřadnicemi. Prostoročas zůstává i ve speciální teorii relativity neinerciálních soustav pevnou "scénou" v níž se odehrávají fyzikální děje, přičemž na vlastnosti samotného prostoročasu tyto fyzikální děje nijak nepůsobí.

Obr.2.2. Závislost běhu času na místě v neinerciálních soustavách.
a) Hodiny umístěné na různých místech nerotujícího disku jdou stejně rychle a ukazují stejný čas.
b) Pokud jsou (identické) hodiny upevněny v různých vzdálenostech od středu rotujícího disku, budou se pohybovat různou obvodovou rychlostí a vykazovat různou relativistickou dilataci času (hodiny A půjdou stejně jako bez rotace, hodiny B půjdou pomaleji a C ještě pomaleji) - z hlediska vnitřního pozorovatele čas v různých místech plyne různě rychle.

K tomu, aby v inerciální soustavě dvoje hodiny identické konstrukce šly různě rychle je třeba, aby se vůči sobě pohybovaly. V neinerciální vztažné soustavě však hodiny *) nacházející se v různých místech mohou jít různě rychle i tehdy, když jsou vzhledem k sobě v klidu.
*) Máme zde na mysli tzv. ideální hodiny, jejichž chod není ovlivněn žádnými neuniverzálními vlivy. Naprosto nepoužitelné by zde tedy byly kyvadlové nebo přesýpací hodiny (jejichž rychlost chodu je přímo dána tíhovou silou, v beztížném stavu se zastaví); podobně i jiné mechanické hodiny by mohly být ovlivňovány mechanickými deformacemi jejich konstrukčních dílů. Za nejvhodnější z tohoto hlediska jsou považovány atomové hodiny.
   Opět je to dobře vidět na příkladu rotující vztažné soustavy (obr.2.2). Mějme kotouč rotující rychlostí w (to bude neinerciální vztažná soustava S) na němž jsou ve středu rotace upevněny hodiny A, ve vzdálenosti r_B hodiny B a v ještě větší vzdálenosti r_C od středu další hodiny C. Z hlediska inerciální soustavy S^~ (s počátkem ve středu rotace) budou hodiny A v klidu, hodiny B budou mít rychlost w.r_B a hodiny C ještě větší rychlost w.r_C. Podle Lorentzovy transformace (dilatace času) půjdou hodiny B pomaleji (a hodiny C ještě pomaleji) než hodiny A: t = t_A . Ö(1-w²r²/c²) . Z hlediska rotující vztažné soustavy S budou všechny troje hodiny vůči sobě v klidu, avšak každé hodiny jdou takovou rychlostí jako příslušné inerciální hodiny pohybující se v daném okamžiku spolu s vyšetřovanými hodinami.

O chodu hodin A,B,C zde proto bude platit totéž co z hlediska inerciální soustavy - vzhledem k hodinám A půjdou hodiny B pomaleji a hodiny C ještě pomaleji. Pozorovatel v inerciální soustavě S^~ to vysvětlí dilatací času způsobenou jejich různým pohybem, zatímco pozorovatel v rotující soustavě (kde jsou všechny troje hodiny v klidu) to musí považovat za důsledek pole setrvačných sil s univerzálními účinky, které ve své soustavě pozoruje.

Aplikací STR na rotující kotouč získáme neeukleidovskou prostorovou geometrii (a různý běh času v různých místech) a zároveň budou vznikat odstředivé síly - neeukleidovost geometrie i pole odstředivých sil mají společnou příčinu v rotaci disku. Vnitřní pozorovatel, pokud by o rotaci disku nevěděl, by mohl tyto anomální jevy v geometrii prostoru a běhu času považovat za důsledek pole odstředivých sil, nebo by to mohl obrátit a pole odstředivých sil považovat za projev zakřivené geometrie prostoru a nehomogenity běhu času. Tento myšlený experiment tak navozuje nový způsob uvažování o souvislostech prostoru a času s pohybem a gravitací, který vyústil do obecné teorie relativity (OTR) jakožto fyziky prostoročasu a gravitace.
   Analýza myšlených experimentů s neinerciálními soustavami - s rotujícími (obr.2.1 a 2.2) a s urychlenými raketami (obr.2.2 a 2.3 v následujícím §2.2) - ukazuje, že aby k příslušným kinematickým efektům mohlo dojít, musí gravitace ovlivňovat čas a prostor stejným způsobem, jakým je ovlivňuje rychlost pohybu ve STR. To znamená, že gravitaci lze popsat jako geometrii času a prostoru, kombinovaného ve 4-rozměrný prostoročas. A to je náplň OTR.

1. Gravitace a její místo ve fyzice		2.2. Univerzálnost gravitace

Vojtěch Ullmann