Podaří se vytvořit úplnou unitární teorii – teorii všeho ?

AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie Gravitace, černé díry a fyzika

dodatek B
UNITÁRNÍ TEORIE POLE A KVANTOVÁ GRAVITACE
B.1. Proces sjednocování ve fyzice
B.2. Einsteinovy vize geometrické unitární teorie pole
B.3. Wheelerova geometrodynamika. Gravitace a topologie.
B.4. Kvantová geometrodynamika
B.5. Kvantování gravitačního pole
B.6. Sjednocování fundamentálních interakcí. Supergravitace. Superstruny.
B.7. Obecné principy a perspektivy unitární teorie pole

B.6. Sjednocování fundamentálních interakcí.
          Supergravitace. Superstruny.

Objektivní důvod, proč se A.Einsteinovi ani jeho následovníkům, přes veškerou erudici a úsilí, nemohlo podařit vytvořit uspokojivou unitární teorii pole, spočíval hlavně v tom, že neměli k dispozici dostatečné experimentální údaje o zákonitostech mikrosvěta - o vlastnostech elementárních částic. Snažili se takříkajíc "vymyslet přírodu od psacího stolu". Částečně to platí i o Wheelerově kvantové geometrodynamice popsané v §B.4, která sice zavádí kvantový princip, ale jinak též uvažuje vlastnosti pouze dvou druhů polí - gravitačního a elektromagnetického.
   Nyní je situace diametrálně odlišná. Existuje obrovské množství experimentálních dat o interakcích mnoha druhů elementárních částic při nejrůznějších energiích. Z těchto experimentálních údajů byly odvozeny důležité obecné principy, které je třeba vzít v úvahu při sestavování každé unitární teorie, jež si chce činit nárok na adekvátní popis skutečnosti (§B.7). Vedle gravitačních a elektromagnetických interakcí se objevují další dva typy interakcí hrající fundamentální úlohu v mikrosvětě: silná interakce umožňující existenci jader atomů a interakce slabá způsobující např. radioaktivní b-rozpad.
 Sjednocování 4 druhů interakcí
Rozsáhlé výzkumy v oblasti jaderné a částicové fyziky vyústily v tzv. standardní model částicové fyziky, v němž 25 fundamentálních částic a 4 síly (interakce) dávají perfektně fungující vysvětlení pro všechno v přírodě a vesmíru - viz §1.5, pasáž "Standardní model - jednotné chápání elementárních částic" v monografii "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření". Přesto však ani s tímto velkým úspěchem fundamentální fyzika není spokojena. Jednak z fundamentálního pohledu 4 různé interakce jsou trochu "moc", měla by být jen jedna! - aby bylo dosaženo tzv. "teorie všeho" TOE (Theory Of Everything). A další problém: jedna z fundamentálních sil - gravitace - se zásadně liší od ostatních tím, že se pro ni zatím nepodařilo vytvořit zcela konzistentní kvantovou teorií (bylo diskutováno výše v §B5 "Kvantování gravitačního pole")...
 Odlišné vlastnosti gravitace
Nelinearita gravitace v OTR, "samogravitace", zakřivování prostoročasu, jsou vlastnosti hodně odlišné od ostatních druhů interakcí. To je patrně ta hlavní gnoseologická překážka v úplné unitarizaci. . Někteří odborníci, zvláště v kvantové fyzice, zde ještě akcentují (asi neodůvodněně) tzv. informační paradox u černých děr (tato problematika je diskutovatována v pasáži "NavratHmotyKvantEvaporaci"). Tato kontradikce kvantové fyziky a obecné teorie relativity je zde (podle mého názoru) umělá a neopodstatněná, je to jen subjektivní názor některých odborníků...
   Moderní unitarizační snahy probíhají na půdě kvantové teorie polí a jejich cílem je sjednocování fundamentálních interakcí mezi elementárními částicemi - interakcí silných, slabých, elektromagnetických a gravitačních. Protože se jedná o velmi rozsáhlou oblast ležící většinou úplně mimo zaměření této knihy, shrneme jen zcela heslovitě základní principy a poznatky unitarizace ve fyzice elementárních částic - viz obr.B.8, který je pokračováním základního unitarizačního schématu z obr.B.1. Před rozebíráním konkrétních metod unitarizace si však stručně přiblížíme základní ideje sjednocování polí a důležitou úlohu, jakou zde hrají symetrie a zákony zachování.


Obr.B.8. Schématické znázornění základní struktury sjednocování fundamentálních interakcí.

Fyzikální pole « fyzikální prostor ® sjednocení
Již v §B.2 jsme si nastínili velmi hlubokou a krásnou myšlenku unitární teorie pole: podle ní by mělo existovat jediné, zcela základní a vše zahrnující fyzikální pole, jehož projevem by pak byla všechna pozorovaná pole v přírodě - gravitační, elektromagnetické, pole silných a slabých interakcí (a všechny jejich projevy, třebas v subnukleární fyzice). Ve světě pak neexistuje nic než toto pole, z něhož je všechno složeno - i hmotné útvary (např. částice) jsou jakési místní "zhuštěniny" tohoto pole.
   Fyzikální pole je prostor, v němž je určitým způsobem rozložena (rozprostřena, distribuována) určitá veličina - v každém bodě je definován určitý skalár, vektor či tenzor popisující dané pole (potenciál či silové působení). Časová evoluce (proměnnost) pole je v klasické fyzice vyjádřena funkční závislostí veličin pole na čase, v teorii relativity zavedním 4-rozměrného prostoročasu. V daném prostoru může být přítomno více druhů polí, což v klasickém přístupu vyjadřujeme pomocí několika vektorů či tenzorů v každém bodě prostoru.
   Chceme-li sjednotit tato pole do jednoho unitárního pole, můžeme z hlediska vztahu prostoru a pole postupovat v zásadě dvěma způsoby :

  Oba tyto způsoby mohou být do určité míry ekvivalentní, avšak existence velmi propracovaného matematického aparátu diferenciální geometrie a topologie variet upřednostňuje druhý přístup, který bude níže aplikován na geometrické formulace supergravitace a na teorii superstrun.

Symetrie ve fyzice
Pojem symetrie ve fyzice se vyvinul ze symetrií v geometrii (a obsahuje tyto geometrické symetrie jako důležitý speciální případ). V geometrii symetrie vyjadřují pravidelnost tvaru určitých geometrických útvarů. Máme zde centrální symetrii kruhu nebo koule, axiální symetrii (osovou souměrnost) válce, chirální symetrii - zrcadlovou levo-pravou souměrnost. Symetrie geometrického útvaru se projevuje tím, že při určitých změnách polohy jeho jednotlivých bodů - tzv. transformacích, se vlastnosti studovaného geometrického objektu nemění - jsou vůči těmto transformacím invariantní.
  Ve fyzice to nemusí být taková jednoduchá a názorná symetrie, ale může se jednat i o určité abstraktní symetrie na úrovni matematických rovnic.
Symetrie a její narušení 
Na úrovni základních jevů a zákonitostí se příroda jeví jako v zásadě symetrická, avšak jevové úrovni bývá symetrie více či méně porušená.. Můžeme si to názorně přiblížit na jednoduchém příkladu z běžného života: když na stole postavíme tužku přesně kolmo na špičku, je díky rotační (válcové) symetrii stejně pravděpodobné, že spadne na jakoukoli stranu. V případě že by padala přednostně na jednu stranu, znamenalo by to že symetrie je narušena (mohlo by to být způsobeno nehomogenitou materiálu tužky, drobnou odchylkou od válcového tvaru, nesymetrickým seříznutím hrotu; příp. vnějšími vlivy jako je přítomnost elektrického pole, proudění vzduchu v místnosti a pod...).
  Když k takovým narušením symetrie dochází v oblasti částicových interakcí, indikuje to přítomnost určitého pole způsobujícího tuto asymetrii a též existenci nějaké nové částice, která je kvantem toho pole; toto pole lze též chápat jako "kompenzující" pole potřebné k zachování základní symetrie, která se na jevové úrovni zdá být narušená.
Symetrie a zákony zachování 
Ve fyzice se pod symetrií určitého fyzikálního systému rozumí neměnnost (invariance) důležitých vlastností tohoto systému při transformacích proměnných veličin, které jej popisují. Velmi důležitou úlohu zde mají především symetrie pohybových rovnic, popisujících dynamiku systému, vůči transformacím jejich proměnných. Tedy takové transformace veličin popisujících daný fyzikální systém, které ponechávají tvar pohybových rovnic tohoto systému beze změn. Tyto symetrie pak mohou (ale nemusí*) vykazovat i řešení těchto rovnic.
*) Rovnice popisující dynamiku systému mají určité symetrie, avšak výsledný stav systému, který je řešením těchto rovnic, tuto symetrii nerespektuje - např. v důsledku nesymetrických počátečních podmínek.
  Podle teorému E.Noeterové invariance pohybových rovnic vůči určitým transformacím vede k zákonům zachování určitých fyzikálních veličin. V klasické mechanice lze zákon zachování energie považovat za důsledek homogenity času (nezávislost na posunu v čase), zákon zachování hybnosti za důsledek homogenity prostoru (invariance vůči prostorovým translacím) a zákon zachování momentu hybnosti za důsledek izotropie prostoru (symetrie vůči prostorovým rotacím).
  Prvním důležitým principem symetrie v moderní fyzice byla Lorentzovská invariance, původně objevená jako (víceméně náhodná) matematická vlastnost Maxwellových rovnic odvozených z experimentálně pozorovaných zákonů elektromagnetismu. Tehdejší chod fyzikálních úvah byl zhruba následující :

experiment ® rovnice pole ® symetrie .

  Zásluhou A.Einsteina a jeho teorie relativity si fyzikové uvědomili, že principy symetrie mohou být mocným gnoseologickým nástrojem; vzpomeňme si jen, že právě z požadavku symetrie vůči obecným transformacím prostoročasových souřadnic, spolu s principem ekvivalence, vyplynula obecná teorie relativity. Nyní je metodou teoretické fyziky spíše schéma :

principy symetrie ® lagrangián ® rovnice pole

Fyzikálně odůvodněný požadavek určité symetrie může sloužit jako určitý "konstrukční princip" či pomůcka při vytváření fyzikálních teorií a modelů. A přítomnost symetrií ve fyzikálních modelech umožňuje vyvozovat některé důležité teoretické předpovědi, aniž musíme znát konkrétní podrobné (a často značně složité) řešešní pohybových rovnic.

Kalibrační (cejchovací) transformace; kalibrační pole
Termín kalibrace *) či cejchování ve fyzikálních, technických a laboratorních oborech značí proceduru, při níž se provádí či ověřuje přesné nastavení vztahu mezi měřenými veličinami na měřicích přístrojích či pomůckách. Typickým jednoduchým příkladem je kalibrace odměrného válce na kapaliny, který se opatří značkami (čárkami, ryskami) s vyznačeným objemem [mililitry]. Nebo kalibrace voltmetru, který se opatří stupnicí s vyznačenými dílky hodnot napětí [V, mV]. Kalibrace se provádí většinou srovnáváním s hodnotami z jiných (přesnějších) měřicích přístrojů a etalonů. Přesným kalibrováním se zabývá speciální obor metrologie.
*) Slovo "kalibrace, kalibr" pochází z Franc. caliper = vnitřní průměr hlavně pušky či děla, vrtání, ráž střelné zbraně. Přeneseně - něco co má určitou velikost, průměr, přesné nastavení, cejchování.
  Zde v teorii pole se jako kalibrace přeneseně myslí takové vhodné nastavení - transformace, "kalibrace" - určitých veličin (souřadnic, potenciálů pole), které zachovává hodnoty intenzity pole, ale přitom umožňuje vhodnější matematický zápis a snadnější konkrétní řešení v teorii pole. Tato určitá "svoboda" ve volbě potenciálů umožňuje vybrat tvar potenciálů - provést jejich "kalibraci" tak, aby to bylo co nejvýhodnější pro daný problém. Invariance polí vůči kalibračním transformacím se nazývá kalibrační invariance.
  S tímto postupem jsme se v naší knize již setkali např. v §1.5, pasáž "Vlastnosti Maxwellových rovnic" - "Potenciály pole", §2.5 "Einsteinovy rovnice gravitačního pole", pasáž "Linearizovaná teorie gravitace" a §2.7 "Gravitační vlny", pasáž "Rovinné gravitační vlny v linearizované gravitaci".
  Tuto klasickou koncepci invariance vůči kalibračním transformacím [Lagrangián --> rovnice pole --> transformace potenciálů zachovávající rovnice pole], současné postupy budování unitárních teorií pole převracejí naopak : požadavek invariance vůči určité kalibrační transformaci se deklaruje za primární a z jeho splnění se vyvozují vlastnosti polí. Při požadavku lokální kalibrační invariance vůči specifickým (fyzikálně více či méně odůvodněným) symetriím se v rovnicích pole objevují určité přídavné členy obsahující derivace parametrů transformace, pro jejichž eliminaci je potřeba zavést odpovídající kompensující členy, které je možno interpretovat jako nějaké pole - vzniká tím nové kalibrační pole, které by mohlo popisovat novou další interakci..?.. Bude podrobněji rozebíráno níže. Z fyzikálně-filosofického hlediska je to možná diskutabilní přístup, ale "funguje to"...

Složením dvou transformací, při kterých se systém nezmění, vzniká rovněž operace zachovávající systém stejný - z matematického hlediska je tedy množina všech symetrií daného systému grupou :

Grupy transformací
Pro lepší pochopení některých níže používaných pojmů a označení, typických pro unitární teorie pole, bude užitečné vložit sem krátkou matematickou vsuvku s nastíněním popisu transformací pomocí teorie grup.
  Grupa je taková (neprázdná) množina G, mezi jejímiž prvky je definována binární operace "l" přiřazující každým dvěma prvkům a,bÎG nový prvek c = albÎG, který je rovněž prvkem G. Tato binární transformace je asociativní: (alb)lc = al(blc), má jednotkový prvek iÎG: ali = ila = a pro každý prvek aÎG, a ke každému prvku aÎG existuje prvek inverzní a-1ÎG: ala-1=a-1la= i. Nejobvyklejším příkladem grupy je množina všech kladných racionálních čísel při obvyklé operaci násobení ("l" = "."). Jestliže binární operace "l" je komutativní, tj. alb = bla pro každé prvky a,bÎG, nazývá se G Abelova grupa. Počet prvků g grupy G se nazývá řád grupy. Jestliže je g nekonečné, ale spočetné, nazývá se G nekonečná diskrétní grupa.
  Pokud prvky grupy tvoří kontinuální množinu, řád grupy již není použitelný. Zato lze do spojité množiny prvků grupy zavést určité topologické vlastnosti definující varietu (o topologii viz podrobněji §3.1 "Geometricko-topologické vlastnosti"), popř. i metriku. Shora zavedenou binární operaci c = alb, definující grupu, lze pak zapsat jako funkční vztah c = f(a,b). Jestliže všechny tyto grupové operace (indukující zobrazení grupy G samé na sebe) jsou spojité, množina G tvoří topologickou grupu. Topologická grupa, která je varietou, se nazývá Lieova grupa *). Typickým příkladem Lieovy grupy je Eukleidův prostor Rn. Rovněž množina spojitých transformací tvoří Lieovu grupu. Právě grupy transformací, při nichž se zachovávají určité veličiny, hrají důležitou úlohu ve fyzice polí a částic. Jelikož fyzikální transformace jsou matematicky vyjádřeny maticemi transformačních koeficientů (Aij,Aab), příslušné grupy transformací jsou maticové grupy.
*) Množiny tohoto druhu, které jsou zároveň grupami i varietami, poprve zavedl v 70.letech 19.stol. norský matematik Sophus Lie (1842-1899) při analýze vlastností řešení diferenciálních rovnic. Lieovy grupy v sobě spojují struktury ze tří základních matematických oblastí: algebry, analýzy a geometrie. Používají se při řešení diferenciálních rovnic, v diferenciální geometrii a algebraické topologii, v kvantové mechanice, v teorii relativity, při popisu interakcí částic, unitárních teoriích pole (supergravitace, superstruny - viz níže). Ve fyzikálních aplikacích většinou vystupují jako Lieovy grupy symetrií studovaného systému.
  Unitární grupa U(N) je definována jako grupa všech transformací x'a = Aabxb (a,b=1,2,....,N), která zachovává skalární součin a invarianci unitární délky vektoru |x| = x*axa - tj. pro transformační matici platí vztah A*abAba = 1 (hvězdička* značí složku komplexně sdruženou). Platí-li další omezení Det A = 1, jedná se o tzv. unimodulární podgrupu SU(N) grupy U(N).
................
..........
Grupy ve fyzice 
Ve fyzice našly grupy své první uplatnění v krystalografii, kde se pomocí nich vyjadřují vlastnosti symetrie krystalové mřížky pevných látek. V relativistické fyzice se poprvé grupy objevily již v práci H.Poincaré, který ukázal, že Lorentzovy transformace prostorových a časových souřadnic mezi inerciálními vztažnými soustavami tvoří (Lieovu) grupu; tato grupa obecných Lorentzových transformací (nehomogenních, včetně translací) se nazývá Poincarého grupa. Při dalším rozvoji speciální a zvláště obecné teorie relativity se však s použitím grup můžeme setkat jen ojediněle a okrajově. Teorie grup se od konce 20. a začátku 30.let začala více uplatňovat v kvantové mechanice při analýze víceelektronových konfigurací atomů a v kvantové chemii.
Grupy unitární symetrie 
Nové obzory pro aplikaci grup se od 40. a 50.let let otevřely v jaderné fyzice při popisu vlastností elementárních částic. Velký počet elementárních částic, které byly objeveny při vysokoenergetických interakcích, přirozeně vedl ke snahám o jejich systematiku a zavedení unitarizačních schémat. Především, každému baryonu a leptonu je přiřazeno baryonové číslo B a leptonové číslo L (částice +1, antičástice -1), které se zachovávají při všech interakcích. Byly zjištěny výrazné podobnosti a symetrie mezi některými elementárními částicemi, především hadrony.
  Odhlédneme-li od elektrického náboje, lze např. protony a neutrony považovat za dva stavy (dublet) jedné částice - nukleonu. Podobně piony p+,po,p- tvoří triplet podobných částic. Při studiu samotných silných interakcí, které jsou nábojově nezávislé, můžeme od náboje odhlédnout. Pro popis těchto podobností a symetrií byla zavedena nová veličina izotopický spin neboli izospin T *). Nukleony mají izospin T = 1/2, přičemž projekce izospinu T = +1/2 odpovídá protonu a T = -1/2 neutronu. Pionům se připsal izospin T = 1, s projekcemi -1,0,+1 pro p-,po,p+. V soustavě interagujících nukleonů a pionů pak platí zákon zachování izospinu. Pro vyjádření těchto symetrií vznikla grupa SU(2) - speciální, unitární (unimodulární) grupa v komplexním 2-rozměrném prostoru; tato grupa je lokálně izomorfní grupě rotací O(3) v 3-prostoru, vyjadřující izotropii prostoru - symetrii vůči prostorovým rotacím, vedoucí k zákonu zachování momentu hybnosti.
*) Vyšlo se z formální analogie s obyčejným spinem, kde částice se spinem 1/2 se vyskytuje ve dvou stavech s průmětem spinu -1/2, +1/2 a částice se spinem 1 ve třech stavech s průměty spinu -1,0,+1. Izospin T je vektorem v myšleném (pomocném) "izotopickém prostoru". Obecně částice s izospinem T se může vyskytovat v (2 T + 1) stavech s projekcemi izospinu na vztažnou osu: -T, (-T+1), (-T+2), ..., -1, 0, 1, ..., (T-2), (T-1), T.
  Dalším důležitým krokem byl objev některých "podivných" (nečekaných) vlastností interakcí mesonů K a hyperonů při jejich sdružené párové produkci, které vedly k zavedení pojmu podivnosti, popsaného kvantovým číslem S ("Strange"). Později bylo zavedeno obecnější kvantové číslo zvané hypernáboj Y = B + S, dané součtem baryonového čísla B a podivnosti S. Ukázalo se, že při silných interakcích se zachovává jak izospin T, tak hypernáboj Y. To přivedlo k hledání grupy SU(2)´Y, popisující rozšířené vlastnosti symetrie hadromů. V r.1964 navrhli M.Gellman a E.Neeman použít minimální Lieovu grupu, obsahující SU(2)´Y jako podgrupu - grupu unitární symetrie SU(3). Tato rozšířená symetrie vedla k sestavení multipletu baryonů - dekupletu (3/2+), v němž však v té době chybělo jedno místo; byl tak předpovězen hyperon W, který byl zanedlouho skutečně objeven.
  Grupa symetrií hadronů je 4-parametrická grupa zachování izospinu a hypernáboje. Další analýza unitární symetrie ukázala, že systematiku hadronů lze velmi dobře vysvětlit hypotézou, že hadrony jsou složeny ze subčástic - tripletu kvarků ........ Vznikla tak kvarková chromodynamika jakožto teorie silných interakcí .........
........
.........grupy symetrií U(1), SU(2), SU(3), ....., SO(...), ...., Lieovy algebry...
............
  V terminologii teorie grup unitárních symetrií lze říci, že částice jsou reprezentacemi grupy symetrií. Přesněji, komponenty báze ireducibilní reprezentace grupy symetrie ztotožňujeme (interpretujeme, přiřazujeme) s množinou fyzikálních stavů - částicemi (popř. jejich ecxitovanými stavy, rezonancemi).

Globální a lokální symetrie; Kalibrační pole
Při studiu fyzikálních systémů si příslušné symetrie můžeme rozdělit na čtyři kategorie. Podle vztahu [systém]-[okolí] se může jednat o :
¨ Vnější symetrie - invariance vůči změnám "pozice" systému (nebo jeho částí) v prostoru a čase (vedle obvyklých transformací prostoročasových souřadnic je to např. obrácení času "T", nebo prostorová inverze "P");
¨ Vnitřní symetrie - invariance vůči transformacím vnitřních charakteristik systému (např. výměna částic za antičástice, nábojové sdružení "C").
  Z hlediska prostoročasového "rozsahu", konstantnosti či proměnnosti transformací, se ve fyzice uplatňují symetrie dvojího druhu :

  Základním východiskem kalibračních teorií je theze, že všechny čtyři základní interakce v přírodě jsou důsledkem požadavku invariance teorie vůči příslušným kalibračním transformacím. V rámci kalibrační teorie lze formulovat kvantovou elektrodynamiku (kde elektromagnetické pole se obdrží jako kalibrační pole při požadavku invariance lagrangiánu volného spinorového pole vůči lokálním transformacím fáze z grupy U(1)) i Einsteinovu gravitační teorii (gravitační pole zde vzniká z požadavku invariance vůči lokálním kalibračním transformacím prostoročasu - Poincaréova grupa).
   Kalibrační pole v kalibračních teoriích jsou primárně "nehmotná" (jejich kvanta mají nulovou klidovou hmotnost), což je adekvátní pro pole elektromagnetické a gravitační. Při budování teorie např. slabých interakcí v rámci kalibračních teorií to však způsobuje určité potíže pramenící z toho, že tyto interakce jsou zprostředkovány intermediálními bosony (W+,W-,Z°), které mají díky krátkému dosahu interakce značně velkou hmotnost (desítky GeV/c2). Tuto potíž se podařilo překlenout mechanismem tzv. spontánního narušení symetrie [131],[153], což je modifikace lagrangiánu, při níž sice lagrangián i pohybové rovnice mají nadále původní danou symetrii, ale vlastní fyzikální stavy tuto symetrii již nemají (není v tom žádný rozpor- např. pohyb v centrálně symetrickém poli nemusí být při nesymetrických počátečních podmínkách vůbec symetrický). Toto spontánní narušení symetrie pak způsobuje, že příslušné kalibrační pole bude efektivně vystupovat jako pole s nenulovou hmotností, aniž by se porušila kalibrační invariantnost.


Obr.B.9. Znázornění mechanismu spontánního narušení symetrie v kalibračních teoriích.
a) Pro efektivní potenciál tvaru jednoduché symetrické jámy s jediným minimem je i základní stav symetrický.
b) Pro takový tvar symetrického efektivního potenciálu základní stav pole j již symetrii nemá.
c) Pohyb kuličky puštěné přesně po ose do sklenice s promáčknutým dnem ilustruje případ, kdy navzdory tomu, že rovnice pohybu kuličky, počáteční podmínky i tvar sklenice jsou symetrické, konečný stav tuto symetrii nemá: kulička se po dopadu do metastabilní polohy ve vyvyšeném středu dna vždy skutálí do prohlubně u stěny - předchozí symetrie se spontánně naruší.

Podstata mechanismu spontánního narušení symetrie je zhruba nastíněna na obr.B.9. Na obr.B.9a je znázorněna potenciální energie (efektivní potenciál) skalárního pole j o hmotnosti m a vazbové konstantě l s jednoduchým (modelovým) lagrangiánem L = (1/2) (j,i)2 - (m2/2) j2 - (l/4) j4. Efektivní potenciál V(j) = (m2/2) j2 - (l/4) j4 má (pro m2>0) tvar symetrické potenciálové jámy, v níž nejvýhodnější energetický stav odpovídá poli j =0. V případě, že efektivní potenciál by měl tvar V(j) = - (m2/2) j2 - (l/4) j4 (odpovídající případu m2<0), bude mít potenciálová jáma tvar podle obr.B.9b, takže minimu V(j) již nebude odpovídat stav j =0, ale pole j = jo = ±m/Öl . I když potenciál V(j) je nadále symetrický vůči změně znaménka j ® -j, zakladní stav pole j tuto symetrii již nerespektuje (kulička symbolicky představující stav pole se vždy skutálí do jednoho z minim - obr.B.9c).
  Po narušení symetrie se spektrum částic (hmotnosti excitací) mění. V uvedeném jednoduchém případě by se při j =0, m2< 0 jednalo o teorii tachyonů s imaginární hmotností m2(j=0) = d2V/dj2|j=jo= - m2 < 0, zatímco po narušení symetrie se čtverec hmotnosti excitací skalárního pole stává kladný: m2(j=jo) = d2V/dj2|j=jo= 2.m2.
   Základní myšlenka Higgsova-Kibbleova mechanismu *) tedy spočívá v tom, že do lagrangiánu kalibrační teorie se zavede pomocné skalární pole (Higgsovo pole) s takovým interakčním potenciálem, aby došlo ke spontánnímu narušení symetrie, přičemž však lagrangián jako celek by zůstal kalibračně invariantní. Potom se kalibrační pole budou efektivně chovat jako pole s nenulovou hmotností. Kromě toho se v teorii objeví navíc tzv. Higgsovy bosony - skalární částice s nenulovou klidovou hmotností, jakožto kvanta těchto pomocných skalárních polí.
*) Tuto hypotézu poprve zavedli v r.1964 ve svých pracech autoři P.Higgs, F.Englert a R.Brout, G.Guralnik, C.Hagen a T.Kibble. Higgsovo pole v r.1967 využili S.Weiberg, A.Salam a S.Glashow při vybudování teorie elektroslabé interakce s těžkými intermediálními bosony W±,Z° (je zmíněno níže).
   Ukazuje se tedy, že teorie všech fundamentálních interakcí lze jednotně vytvářet v rámci kalibračních teorií lišících se především kalibrační grupou. Kalibrační teorie tak tvoří zároveň vhodnou základnu pro sjednocování interakcí: dva typy interakcí s kalibračními grupami G1 a G2 lze sjednotit tak, že vytvoříme kalibrační teorii s kalibrační grupou G, obsahující grupu G1´G2 jako svoji podgrupu. Při konstrukci jednotných teorií slabých, silných a elektromagnetických interakcí je tato základní idea doplněna předpokladem, že před narušením symetrie všechny vektorové bosony zprostředkovávající interakce byly nehmotné. Po spontánním narušení symetrie (vlivem vzniku konstantních skalárních polí v celém prostoru) však část vektorových bosonů získá hmotnost a příslušné interakce se stanou krátkodosahovými - symetrie mezi různými typy interakcí se poruší.

Sjednocování elektromagnetických a slabých interakcí 
První výrazný úspěch na této cestě byl zaznamenán při sjednocování elektromagnetické interakce a slabé interakce v tzv. elektroslabou interakci - jedná se o Weinbergovu-Salamovu-Glashowovu teorii. Před vznikem konstantního skalárního Higgsova pole H má tato teorie kalibrační symetrii SU(2)´U(1) a popisuje elektroslabé interakce částic způsobované výměnami nehmotných vektorových bosonů. Po vzniku skalárního pole H se symetrie spontánně naruší až do podgrupy U(1), odpovídající část vektorových bosonů (W+,W-,Z°) získá hmotnost (řádu ~ e.H » 102 GeV), příslušné interakce se stanou krátkodosahovými ® slabé interakce, zatímco další pole Ai zůstává nehmotné ® elektromagnetické pole. Podařilo se tak sjednotit slabé a elektromagnetické interakce do jedné teorie, v níž vystupují jako dva různé aspekty téhož jevu.
  Weinbergovu-Salamovu teorii elektroslabé interakce lze dnes již považovat za experimentálně prakticky ověřenou, protože v r.1973 byla v CERNu prokázána existence tzv. slabých "neutrálních proudů" (způsobujících reakce typu nm + e ® nm + e), a hlavně v r.1983 byly ve vstřícnych proton-antiprotonovych svazcích (270 GeV proti 270 GeV) collideru velkeho protonoveho synchrotronu v CERN objeveny intermediální bosony W±,Z°, jejichž hmotnosti (mW @ 82 GeV, mZ @ 93 GeV) i způsoby rozpadu velmi dobře souhlasí s předpovědí Weinbergova-Salamova modelu.
  Elektro-slabá interakce s intermediálními bosony W± velmi elegantně vysvětluje podstatu beta-radioaktivity pomocí transmutace kvarků uvnitř neutronů či protonů - podrobněji je vyloženo v §1.2 "Radioaktivita", část "Radioaktivita beta" monografie "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření":


Schématické znázornění mechanismu b--rozpadu neutronu (nahoře) a b+-přeměny protonu (dole) v rámci standardního modelu elementárních částic.

Silné interakce a kvarkový model 
Než si stručně povíme o další etapě sjednocování - grandunifikačních teoriích, zmíníme se několika slovy o specifických vlastnostech silných interakcí (podrobnější výklad je v §1.5 "Elementární částice", část "Kvarková struktura hadronů" knihy "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření"). Na základě obsáhlého experimentálního materiálu, získaného převážně v 50. a 60. letech při hledání nových elementárních částic, byly vypozorovány výrazné symetrie ve vlastnostech elementáních částic, které v r.1964 vyústily zformulováním kvarkového modelu hadronů, podle něhož jsou všechny hadrony složeny z ještě "elementárnějších" částic - kvarků (tento název byl s notnou davkou recese převzat z literárního díla Jamese Joyce). Kvarky jsou přitom fermiony se spinem 1/2 a třetinovým elektrickým nábojem. Pro vysvětlení systematiky hadronů v rámci aditivního kvarkového modelu bylo postupně zavedeno 6 druhů (v angličtině se požívá slovo flavour - "vůně") kvarků označovaných "u" (up), "d" (down), "s" (strange), "c" (charm), "b" (bottom), "t" (top - na existenci t-kvarku ukazuje nápadná symetrie v systematice leptonů a kvarků). Z téhož důvodu bylo nutné přiřadit kvarkům nové vnitřní kvantové číslo - "barvu" (color), která nabývá tří diskrétních hodnot označovaných jako "červená", "modrá", "žlutá"; přitom baryony jsou "bezbarvé" ("bílé") kombinace tří barevnych kvarků, mezony pak kombinace kvarků a antikvarků. Hlavní obtíž kvarkové hypothézy však tkví v tom, že žádné volné částice s vlastnostmi kvarků nebyly dosud nikdy pozorovány. Pokud tedy kvarky vůbec existují, musejí být v hadronech velmi silně vázány.
   Koncem 60.let byl kvarkový model do určité míry podpořen výsledky experimentů s rozptylem vysokoenergetických elektronů na nukleonech (hluboce nepružný rozptyl) ukazujících na to, že při takovém "tvrdém ostřelování" se nukleon nechová jako kompaktní částice, ale jako shluk několika (tří) víceméně volných rozptylových center - tzv. partonů. Přitom kvantová čísla partonů (náboj, spin, izospin) odpovídala hodnotám očekávaným u kvarků. Přímému ztotožnění kvarků a partonů však bránil rozpor: na jedné straně se při experimentech partony v nukleonech chovaly jako volné, na druhé straně kvarky jsou tak silně vázány, že je nelze z nukleonů uvolnit.
Kvantová chromodynamika 
Výrazného pokroku v chápání vlastností silné interakce bylo dosaženo v 70.letech, kdy byla zformulována a rozvinuta tzv. kvantová chromodynamika (QCD, řecky chromos = barva) [92],[55] jako teorie silné interakce; stejným právem se může nazývat "kvarková chromodynamika". Tato teorie je vybudována podobným způsobem jako kvantová elektrodynamika (QED), avšak je založena na neabelovských kalibračních symetriích fyzikálně souvisejících s barvou kvarků. Význačnou vlastností QCD je asymptotická volnost: efektivní vazbová konstanta vzájemného působení mezi kvarky se blíží nule při zmenšování vzdáleností, ale prudce roste se zvětšováním vzdálenosti. Asymptotická volnost umožňuje přirozeně pochopit zdánlivě neslučitelné vlastnosti kvarků jakožto partonů: kvarky na malých vzdálenostech uvnitř nukleonů téměř neinteragují, zatímco z hlediska větších vzdáleností jsou vázány velmi silně. S asymptotickou volností tak těsně souvisí hypothéza dokonalého "uvěznění" kvarků, podle níž kvarky nemohou existovat jako volné částice (nekonečně velká energie potřebná na uvolnění), ale pouze vázané v hadronech.
   Silná interakce mezi kvarky je v QCD zprostředkována vektorovým kalibračním polem, jehož kvanta s nulovou klidovou hmotností, zvaná gluony, zde hrají podobnou úlohu jako fotony v QED. Na rozdíl od kvantové elektrodynamiky mají gluony "barevný" náboj a interagují samy se sebou (mohou se navzájem "emitovat"); v důsledku této nelinearity má vakuum v QCD složitou strukturu, zvláště v oblasti "infračervených" (nízkoenergetických) vakuových fluktuací.
Jety - stopy po hadronizovaných kvarcích 
Za velmi vysokých energií při tvrdých a hluboce nepružných srážkách elektronů s protony vzniká řada sekundárních částic, které vylétají neizotropně v jakýchsi směrovaných "výtryscích" - jetech. Detailní analýza úhlového rozdělení a energie částic v jetech ukázala následující mechanismus interakce, který lze rozdělit do dvou etap: Během 1.etapy vysokoenergetický elektron při interakci s protonem předá část své kinetické energie jednomu z kvarků, který se po tomto rozptylu po určitou kratičkou dobu pohybuje prakticky volně (asymptotická volnost) uvnitř protonu; podobně i zbytek protonu tvořený dvěma zbývajícími kvarky. Nedojde však k uvolnění kvarků z protonu. Jakmile vzdálenost mezi vyzářeným kvarkem a zbytkem protonu přesáhne zhruba 1fm (=10-15m), nastává 2.etapa: síly mezi nimi začnou prudce narůstat a v kvark-gluonovém poli dojde k produkci kvarků a antikvarků, které se zformují do mesonů a baryonů - dojde k tzv. "hadronizaci" kvark-gluonového plasmatu. Výsledkem je vyzáření dvou úhlově kolimovaných spršek částic - jetů, které vylétají přibližně ve směrech letu kvarku a zbytku protonu v první etapě. Tyto jety jsou vlastně stopami po kvarcích.
Tento mechanismus je zjednodušeně znázorněn na obrázku, který pochází z §1.5 "Elementární částice" knihy "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření":

  V kvantové chromodynamice se vyskytuje problém CP- narušení kombinace nábojové symetrie a parity v teorii kvarků, který se řeší zavedením částic zvaných axiony - jsou to lehké (klidová hmotnost cca 10-5eV) hypotetické částice se spinem 0, které se někdy diskutují jako možná součást tzv. skryté (temné, nezářící) hmoty ve vesmíru (viz §5.6 "Budoucnost vesmíru. Šipka času. Skrytá hmota.").
   Další podrobnosti o vlastnostech elementárních částic a jejich interakcí jsou uvedeny v §1.5 "Elementární částice" knihy "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření".

Velké sjednocení 
Máme-li k dispozici teorii silných interakcí (QCD) a teorii elektroslabých interakcí (Weinbergův-Salamův model), což jsou všechno kalibrační teorie, vzniká přirozeně snaha spojit tyto teorie do jedné ještě obecnější teorie interakcí. Tato další etapa unitarizace se označuje jako velké sjednocení (GUT - Grand Unification Theory).
  Grupa kalibrační symetrie G v tomto velkém sjednocení musí přitom obsahovat podgrupy SU(3)color ´ [SU(2) ´ U(1)]elektroslab Ě G ; nejjednodušší grupou tohoto druhu je SU(5), používají se však i modely s kalibračními grupami SO(10), E6 a další [194].
   V grandunifikačních teoriích se vyskytují vektorové bosony X a Y (zvané též leptokvarky, protože způsobují přechody mezi kvarky a leptony), které jsou před narušením symetrie - stejně jako všechny ostatní vektorové částice - nehmotné; leptony se přitom mohou snadno měnit na kvarky a naopak *). První Higgsovské pole narušuje výchozí symetrii SU(5) na SU(3) ´ SU(2) ´ U(1) - silné interakce popsané grupou SU(3) se oddělují od elektroslabých popsaných grupou SU(2) ´ U(1). X- a Y-mezony získávají velikou hmotnost (řádově mX,Y ~1015GeV), čímž je přeměna kvarků v leptony silně potlačena a proton se stává prakticky stabilní. Další higgsovské pole pak narušuje symetrii mezi slabými a elektromagnetickými interakcemi stejně jako ve Weinbergově-Salamově modelu.
*) Tato okolnost mohla mít velký význam při vzniku baryonové asymetrie ve velmi raných fázích vývoje vesmíru (je diskutováno v §5.4 "Standardní kosmologický model. Velký třesk. Formování struktury vesmíru." a též v §5.5).
   Jednou z hlavních předpovědí grandunifikačních teorií je nestabilita protonu, který by se měl rozpadat na miony či pozitrony a na jeden neutrální či dva nabité piony [p ® (m+ nebo e+) + (po nebo p++p-)] s dobou života řádově tp » 1030-1033 roků. Tento rozpad by byl způsoben přeměnou kvarku na lepton prostřednictvím bosonu X a vzhledem k obrovské hmotnosti bosonu X je jeho pravděpodobnost nesmírně malá. Pozorování rozpadu protonu by však bylo velice důležité, protože by rozhodujícím způsobem ukázalo, že grandunifikační teorie jde správnou cestou. Experimenty *) zatím dávají odhady tp > 1030 let.
*) Tyto pokusy o pozorování rozpadu protonu se provádějí hluboko pod zemí (z důvodu odstínění kosmického záření), kde jsou umístěny velké nádrže s vodou, opatřené mnoha fotonásobiči, které by mohly zaregistrovat slabé záblesky způsobené průchodem rychlých částic vzniklých jako produkty rozpadu protonu. Nejdokonalejším zařízením tohoto druhu je Superkamioka-NDE v Japonsku, které sice nezaznamenalo žádný rozpad protonu, ale bylo velice úspěšné při detekci a spektrometrii neutrin (viz část "Neutrina" v §1.2 knihy "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření").
   Myšlenka velkého sjednocení je jistě velmi přitažlivá a slibná. Je zde však stále mnoho potíží a nevyřešených problémů, např. problém hierarchie hmotností generovaných mechanismem spontánního narušení symetrie ve skalární části teorie, vystupuje zde příliš mnoho volných parametrů (více než 20), není jasné jak volit mezi několika alternativními modely a další; GUT je příliš fenomenologická. Kromě toho grandunifikační teorie nezahrnují gravitaci. Teorie pokoušející se o velké sjednocení tedy zatím nejsou v takovém stavu, aby mohly být považovány za "konečné" teorie interakcí. Nicméně jejich použití např. v kosmologii již nyní vede k novým zajímavým koncepcím prospěšným jak pro kosmologii, tak pro fyziku elementárních částic - viz §5.5.

Supersjednocení a supergravitace 
Názory na úlohu gravitace ve struktuře elementárních částic se velice různí; rozprostírají se mezi dvěma krajními polohami:

  Pokud lze univerzálnost gravitace extrapolovat až do mikroměřítek elementárních (subnukleárních) častic, platila by zcela určitě aspoň první část druhého krajního názoru b). Lokální hustoty hmoty a energie zde totiž dosahují takových hodnot, že gravitační interakce by se stala silnou. Stále sílí názor, že v současné době již nelze od sebe odtrhovat fyziku elementárních částic a fyziku gravitace; zdá se dokonce, že bez zahrnutí gravitace nemůže být vytvořena konzistentní a jednotná teorie částic tvořících hmotu.
  Je proto přirozená snaha završit unitarizaci interakcí v kvantové teorii pole zahrnutím gravitační interakce, jejím sjednocením s ostatními třemi druhy interakcí. Tento ambiciózní unitarizační program se označuje jako supersjednocení nebo supergravitace.
   Sjednotit gravitaci s ostatními druhy interakcí v duchu výše zmíněného schématu unitarizace kalibračních teorií znamená sloučit vnitřní symetrie s geometrickými, tj. najít společnou grupu zahrnující jak grupu transformací prostoročasu (např. Poincaréovu grupu) charakterizující gravitaci v OTR, tak i grupy vnitřních (nikoliv prostoročasových) symetrií slabých, silných a elektromagnetických interakcí. Ukázalo se, že provést takové sjednocení (netriviálním způsobem, tj. ne jako pouhý direktní součin) nelze v rámci Lieových grup, ale bylo nutné použít nové algebraické struktury - zobecněné grupy nazývané často Lieovy superalgebry nebo graduované Lieovy algebry. Ve zobecněných grupách jsou příslušné algebry určeny jak komutačními, tak i antikomutačními relacemi mezi jednotlivými generátory. Ty Lieovy superalgebry, které obsahují jako svoji podalgebru grupu prostoročasových transformací (např. Poincaréovu grupu), se označují jako supersymetrické.
   Algebra supersymetrie se konstruuje tak, aby obsahovala vedle obyčejných generátorů Poincaréovy grupy (prostoročasových posuvů Pk a rotací Mkj) také spinorové generátory Qi s vhodnými komutačními relacemi. Pokud se taková algebra realizuje v prostoru polí, transformují generátory Qi tenzorová pole na spinorová a naopak. Protože v kvantové teorii tenzorová pole popisují bosony s celočíselným spinem (řídící se Bose-Einsteinovou statistikou) a spinorová pole popisují fermiony s poločíselným spinem (statistika Fermi-Diracova), operátory Qi vlastně generují transformace převádějící fermiony na bosony a naopak. V supergravitaci je tak odstraněna ostrá hranice kladená mezi fermiony a bosony v dosavadní fyzice. Další charakteristickou vlastností supergravitace je to, že vedle gravitačního pole, které je kalibračním polem vůči lokálním transformacím prostoročasu, obsahuje ještě spinorové pole - kalibrační pole vzhledem k lokálním supersymetrickým transformacím generovaným Qi; takové pole se označuje jako Raritovo-Schwingerovo a jeho kvantum se nazývá gravitino (může mít spin 3/2, popř. 5/2 *).
*) V supersymetrických unitárních teoriích elementárních částic je ke každé částici přiřazen její tzv. superpartner - každý boson má svého fermionového superpartnera a fermion má naopak svůj bosonový protějšek. Nejčastěji diskutované supersymetrické částice jsou zmíněná gravitina a dále též fotina - slabě interagující hmotné částice se spinem 1/2, zaváděné jako supersymetrický partner fotonu. Někdy se diskutují i supersymetrické částice k fermionům: s-leptony jako superpatneři k leptonům, např. s-elektron, s-mion, s-neutrino (zvané též neutralino - mělo by mít vysokou hmotnost desítky GeV), či kvarkům - skvark. O elementárních částicích je podrobněji pojednáno v knize "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření", §5.5 "Elementární částice".
  Supersymetrie značí, že "silové" a "látkové" částice (tj. pole a hmota) jsou dvě stránky téže reality. Supersymetrie v principu umožňuje vyřešit problém nekonečen tím způsobem, že příspěvky uzavřených smyček ve Feynmanových diagramech pro virtuální bosony vedou ke kladným nekonečnům a pro virtuální fermiony k záporným nekonečnům, takže by se mohly v optimálním případě vzájemně vyrušit.
   Nejjednodušší supergravitační teorie - tzv. prostá supergravitace vytvořená v r.1976 [89],[66], byla spíše modelovým experimentem, protože obsahuje minimální množství polí; nezahrnuje ani kvarky a leptony. Fyzikálně realističtější varianty supergravitačních teorií se snaží rozšířit počet spinorových generátorů a zavést též generátory vnitřních symetrií. Vzniká tak rozšířená supergravitace, která obsahuje 4N spinorových generátorů Qai (a = 1,2,...,N) nesoucích index vnitřní symetrie a. Omezíme-li se přitom na částice (pole) se spinem nepřesahujícím hodnotu 2, v prostoročase dimenze d=4 jsou možné N-rozšířené supergravitační teorie s N = 1,2,...,8. Nejjednodušší rozšířenou supergravitační teorií je N=2-supergravitace sjednocující Maxwellovu a Einsteinovu teorii; k fotonům a gravitonům jsou zde přiřazena dvě gravitina. Maximálně rozšířená N=8-supergravitace obsahuje: jedno gravitační pole (graviton), 8 polí Raritových-Schwingerových (gravitin), 28 vektorových polí (bosonů) se spinem 1, 56 spinorových polí (fermionů) se spinem 1/2 a 70 skalárních polí. Multiplety rozšířených supergravitačních teorií mají tedy mnohem bohatší strukturu než v prosté supergravitaci. Avšak přesto, že obsahují nadměrný počet polí, neobsahují pole některých známých částic, např. m-mezonu.
   Z unitarizačního schématu na obr.B.8 vidíme dvě na první pohled diametrálně odlišné cesty: Einsteinovu geometrickou cestu končící Wheelerovou geometrodynamikou a cestu kvantových kalibračních teorií pole vedoucí k supergravitaci, která nemá s geometrickým charakterem nic společného. Protože Einsteinovo pojetí gravitace jako geometrické struktury prostoročasu vychází z velmi hlubokých a názorných principů, naskytá se přirozeně otázka, zda geometrickými prostředky nelze konstruovat i supergravitační teorie. Fyzikálně by to znamenalo, že "náboje" v supergravitačních teoriích by měly mít svůj původ v geometrické struktuře zobecněného prostoročasu, podobně jako gravitační "náboj" v OTR má původ v křivosti prostoročasu *).
*) Zajímavou variantou vícedimenzionální unitární teorie, která se objevila v poslední době, je teorie tzv. superstrun. V této teorii se částice a kvanta polí interpretují jako vzbuzené stavy kmitů (jednorozměrné) relativistické struny ve vícerozměrném prostoru (nejčastěji d=10). Tyto superstruny s charakteristickou délkou řádu Planckovy délky »10-33cm mohou být jak otevřené (s volnými konci), tak uzavřené, přičemž interakce superstrun spočívá buď ve spojení konců dvou strun (vznikne struna třetí), nebo v roztržení jedné struny na dvě části. Za hlavní výhodu teorie superstrun sa považují její lepší renormalizační vlastnosti - nevyskytují se zde "ultrafialové" divegence. O teorii superstrun je stručně pojednáno níže v samostatné pasáži na konci této kapitoly.

Geometrická formulace supergravitace. Vícedimenzionální unitární teorie.
Skutečně se ukázalo, že supergravitace může být formulována jako geometrická teorie v superprostoru (superprostor vzniklý rozšířením Minkowského prostoročasu je obecně zakřivený a má navíc další rozměry spinorového charakteru) s použitím aparátu diferenciální geometrie zobecněného na situaci, kdy některé ze souřadnic antikomutují. Jedná se tedy o prostor s torzí, přičemž se ukázalo, že všechny komponenty křivosti mohou být vyjádřeny pomocí torze a jejích kovariantních derivací. Torze se tak stává důležitým geometrickým objektem v supergravitaci.
   Nejnovější pokusy o geometrickou formulaci supergravitace tak vedou k určité "renezanci" Kaluzovy-Kleinovy teorie (viz §B.2): konstruují se teorie v mnoharozměrném (d > 4) "prostoročase", které by za pomoci spontánní kompaktifikace mohly dát realistickou teorii v prostoročase efektivní dimenze d=4. Mechanismus spontánní kompaktifikace spočívá v tom, že se hledá speciální vakuové řešení zobecněných Einsteinových rovnic v d-rozměrném prostoročase, odpovídající reprezentaci d-rozměrné variety ve tvaru ed = e4 ´ Bd-4, kde e4 je čtyřrozměrný prostoročas (většinou se uvažuje Minkowského) a Bd-4 je kompaktní "vnitřní" prostor. Nadbytečné d-4 dimenze ("extra-dimenze") jsou "svinuty" v dostatečně malých měřítcích (uvažují se většinou Planckovská měřítka 10-33cm), jak bylo diskutováno výše v pasáži "Fyzikální pole « fyzikální prostor ® sjednocení".
  Celkový (výsledný) d-prostor ve vícedimenzionálních unitárních teoriích pole je tvořen vnějším 3+1 rozměrným prostoročasem (obecně zakřiveným) a dalšími d-4 extradimenzemi (bývá jich 5-7) vnitřního prostoru. Tyto extradimenze tvoří speciální varietu, jejíž geometrické vlastnosti, především holonomie a konexe, vhodně modelují (unitární) symetrie interakcí elementárních částic - tím je sjednocují s geometrickou gravitací 3+1 rozměrného prostoročasu.
   Základní idea vícerozměrných unitárních teorií se zkompaktifikovanými dimenzemi spočívá v tom, že fyzikální zákony, které pozorujeme, závisí na geometrických vlastnostech dalších, skrytých extra-dimenzí. Ve vícedimenzionálních teoriích existuje mnoho řešení, lišících se např. metrickou velikostí kompaktifikací. Zkompaktifikované dimenze jsou příliš malé, než abychom je mohli jakkoli pozorovat či detekovat. Avšak různé geometrie dodatečných dimenzí implikují různé druhy částic a sil, což v makroskopickém světě vyvolává odlišné fyzikální jevy.
   Byly studovány zobecněné Kaluzovy-Kleinovy unitární teorie pro různé dimenze d > 4. Aby taková teorie byla úplná a realistická, tj. aby sjednocovala všechny známé interakce částic, musí obsahovat fenomenologickou grupu vnitřní symetrie SU(3)´SU(2)´U(1). Jak nedávno ukázal Witten [283], aby "vnitřní" prostor Bn měl SU(3)´SU(2)´U(1) - grupu izometrií, musí být jeho minimální dimenze rovna n=7 tj. dimenze výchozí variety Kaluzovy-Kleinovy teorie musí být d = 11, což se shoduje s výsledkem pro maximální N=8-supergravitaci v (d=4)-prostoročase, získaném v práci [59].
   V kapitole 5 (§5.5 "Mikrofyzika a kosmologie. Inflační vesmír.") byly diskutovány kosmologické důsledky grandunifikačních a supergravitačních teorií. V nejranějších etapách vývoje vesmíru při vysokých teplotách, kdy ještě nenastala spontánní kompaktifikace, prostoročas mohl mít všech svých 11 rozměrů. Spontánní kompaktifikace, která potom nastala, mohla vést v principu ke všem možným vakuovým řešením, takže se mohly vytvořit "ostrovy", v nichž prostoročas může mít různou topologii, počet rozměrů i signaturu metriky. Nejranější vesmír by tak mohl být jakýmsi "oknem" do vyšších dimenzí zobecněné Kaluzovy-Kleinovy unitární teorie.
   I když supergravitace dosud není završena, jedná se nesporně o velmi nadějnou unitarizační koncepci. Pro ověření správnosti cesty nastoupené supergravitací by bylo podstatné, kdyby se podařilo experimentálné prokázat existenci gravitin, která jsou pro supergravitační teorie charakteristická. Zatím však "labořatoří" pro nepřímé ověřování supergravitačních teorií je pouze kosmologie - důsledky jevů ve velmi raném vesmíru.

Teorie superstrun 
Jedním z výchozích pojmů fyziky je pojem hmotného bodu - idealizovaného objektu, jehož hmotnost (i ostatní parametry) jsou soustředěny do jediného geometrického bodu prostoru. Trajektorie, kterou probíhá hmotný bod v prostoru je křivka, jejíž každý bod lze charakterizovat prostorovými souřadnicemi a časem. Dynamika hmotného bodu v klasické mechanice je dána Newtonovými rovnicemi (§1.2), v relativistické mechanice (§1.6) je popsána pohybem po světočáře ve 4-rozměrném rovinném prostoročase STR, nebo v zakřiveném prostoročase OTR (§2.4). V kvantové mechanice je dynamika částice popsána Schrödingerovou rovnicí; trajektorie, spojující počáteční a koncový stav částice v prostoru, jsou východiskem i při kvantování pomocí Feynmanových intergrálů přes trajektorie (§B5).
   V klasické mechanice byl pojem hmotného bodu pouhou idealizací skutečných těles, výhodnou pro analýzu jejich pohybu. Speciální teorie relativity však posílila důležitost pojmu hmotného bodu: žádný elementární (fundamentální) objekt nemůže mít konečné prostorové rozměry, neboť žádný signál či interakce se nemůže šířit nadsvětelnou rychlostí. Při srážce dvou těles nenulových rozměrů nemohou všechny části reagovat ihned, z čehož plyne, že těleso je složeno z elementárnějších objektů: Ţ elementární objekt musí být bodový.
   Bodový charakter fundamentálních objektů - zdrojů pole - však vede k závažným problémům v teorii pole: při limitních přechodech k nulovým rozměrům vznikají matematicky divergující výrazy vedoucí k nekonečným hodnotám. Těchto divergencí je třeba se zbavit (v podstatě ad hoc) metodami renormalizace - provést třebas vhodnou kalibrační transformaci tak, aby se výsledky výpočtu shodovaly s experimentálními hodnotami.
   Podařilo se však najít způsob, jak se těmto nepříznivým matematickým divergencím vyhnout systematicky - jsou to teorie, v nichž namísto bodů jsou elementárními objekty jednorozměrné čáry či smyčky nenulové délky - tzv. struny. Pokud by tyto struny byly dostatečně malé (mikroskopické), nemusejí být pozorovatelné - vypadaly by "z dálky" jako body. Základními stavebními "kameny" přírody by tedy nebyly částice s nulovými rozměry, ale jednorozměrné struny, které vibrují různými způsoby, odpovídajícími různým různým druhům částic. A interakce částic by odpovídaly spojování a rozpojování strun. Struny jsou v zásadě stejné, ale odlišují se mírou (modem) svých vibrací - podle toho může být struna, zjednodušeně řečeno, např. elektronem nebo kvarkem.
   Podle této koncepce všechno co je ve vesmíru - všechny síly a veškerá hmota - jsou vytvořeny z malých vibrujících energetických linií zvaných superstruny. Různé způsoby, kterými struna rezonančně vibruje, představují různé druhy částic. Různé druhy sil a částic mohou pocházet z různých vibrací téže struny. Jedním z hlavních úskalí teorie superstrun je otázka jejich experimentálního ověření. Superstruny, pokud existují, jsou nesmírně malé (Planckovských rozměrů). Není proto naděje na jejich přímé experimentální prokázání...

Popis pohybu volné struny
Volná (relativistická) částice o klidové hmotnosti mo v prostoročase (d=4) se popisuje integrálem akce (viz §1.6) S0 = mo. ň ds = mo.ňÖ[(dxi/dt)(dxi/dt)] dt , kde s je prostoročasový interval a t vlastní čas částice. Tato akce S0 (index "0" zde vyjadřuje, že se jedná o bodovou, tj. 0-rozměrnou částici) je úměrná délce světočáry částice (relativistickému intervalu s) - obr.B.10 vlevo. Variační princip nejmenší akce dS = 0 pak vede k Lagrangeovým rovnicím, z nichž plynou pohybové rovnice relativistické mechaniky ve STR (1.100), resp. (2.5b) v OTR. Tento postup lze zobecnit i na jiný počet dimenzí než d=4.


Obr.B.10.
Vlevo: Trajektorie "0-rozměrné" volné částice v prostoročase je 1-rozměrná světočára, kterou lze parametrizovat délkou intervalu s nebo vlastním časem t.
Vpravo: Trajektorií, kterou 1-rozměrná struna proběhne v prostoročase, je 2-rozměrná světoplocha, kterou lze parametrizovat vlastním časem t a dalším parametrem s, charakterizujícím polohu bodu na křivce znázorňující strunu.

  Přirozené zobecnění integrálu akce z hmotného bodu na strunu vede k tomu, že akce struny bude úměrná velikosti světoplochy, kterou struna "zamete" při svém pohybu (evoluci) v prostoročase - obr.B.10 vpravo: S1 = T. ň Ö[det(hab)] ds dt , kde hab (a,b = 1,2) je dvourozměrná metrika na světoploše; T popisuje "napětí" struny, dané hmotností struny na jednotku délky.
..................
.....doplnit....... relativistický a kvantový popis struny .......
......

Teorie strun v silné interakci
Teorie strun má spletitou historii. Představa jednorozměrných objektů - strun - se zrodila na konci 60.let při jednom z pokusů o popis silných interakcí. Studium srážek hadronů (především p-mezonů) při vysokých energiích vedlo k tzv. Venezianově modelu, který amplitudy účinných průřezů kvantifikuje pomocí součinů a podílů G-funkcí, jejichž argumentem jsou druhé mocniny součtů 4-hybností interagujících částic a částic výsledných. Ukázalo se, že spektrum Venezianova modelu je identické se spektrem normálních modů "vibrace" jednorozměrného kvantovaného objektu - relativistické struny (v r.1968 si toho všimli M.Virasoro a J.Shapiro). A Feynmanovy diagramy, popisující interakce dvou částic, lze sjednotit do jednoho diagramu, v němž 4 interagující částice (2 vstupující a 2 vystupující) jsou znázorněny jako otevřené struny (lineární útvary topologicky ekvivalentní úsečce); stejně tak lze znázornit i výměnné částice zprostředkující interakci. Každá struna přitom může "vibrovat" různým způsobem a podle toho se jevit jako částice určitého druhu (elektron, foton, ...) - částice jsou vzbuzenými stavy "vibrace" struny. Přesněji řečeno, různé vibrace struny modelují různé základní částice.
Pozn: Velikost superstrun se zde uvažovala v řádu 10-13cm, odpovídající charakteristickému dosahu silné interakce.
   Podrobná matematická analýza ukázala, že kvantová teorie bosonové struny je konzistentní (např. ve smyslu konformní invariance) jen tehdy, je-li dimenze prostoročasu d=26. To dramaticky převyšuje pozorovaný počet dimenzí d=4 našeho prostoročasu. Tento nesoulad je možné vyřešit hypotézou o "svinutí" neboli kompaktifikaci přebytečných dimenzí do malých uzavřených (kompaktních) variet, jak to bylo zmíněno výše v souvislosti se zobecněnými Kaluzovými-Kleinovými unitárními teoriemi, nebo v §5.7 v souvislosti s kvantovou kosmologií velmi raného vesmíru.
  Dalším nedostatkem původní teorie strun je, že ve spektru volné bosonové struny (které obsahuje pouze transverzální mody) základní stav odpovídá částici se záporným kvadrátem hmotnosti, tj. částici s imaginární hmotností - tachyonu (možnost existence tachyonů jsme z principiálních důvodů, především z hlediska kauzality, vyloučili již v §1.6). Druhý excitovaný stav je již příznivější - odpovídá kvantu s nulovou klidovou hmotností a se spinem 2, které lze ztotožnit s gravitonem, viz níže.
   V polovivě 70.let byla vytvořena kvantová chromodynamika (byla stručně zmíněná výše), která silné interakce interpretuje pomocí kvarků a gluonů, které na sebe působí prostřednictvím tzv. "barevného náboje". Velký úspěch kvantové chromodynamiky odsunul dosavadní strunové modely na více než 10 let do pozadí.
Pozn.: Někteří fyzikové si ale v té době představovali, že kvarky v hadronech jsou spojeny strunami (gluonovými trubicemi), které je drží pohromadě jako "gumová vlákna" (H.B.Nielsen, Y.Nambu, L.Suskind).

Supersymetrická teorie strun
Jak bylo výše v pasáži o supergravitaci nastíněno, pokusy o sjednocení gravitační interakce s ostatními typy interakcí v rámci kalibračních kvantových teorií pole vedly k pojmu supersymetrie. Tato teorie spojuje bosony a fermiony: ke každému bosonu předpovídá "superpartnera" kterým je fermion, a naopak. Aplikace těchto nových symetrií, vyjádřených geometricky (komutačními i antikomutačními relacemi v prostoročase) na teorii strun vedla ke snížení potřebného počtu rozměrů prostoročasu z původních d=26 na d=10 (a neobsahovala již žádný tachyon). Vznikla tak supersymetrická teorie strun, neboli teorie superstrun. Vedle bosonové struny zde jako její partner vystupuje fermionová struna, neboli superstruna, která má další, spinorovou proměnnou.
   Ve spektru excitací relativistické kvantované struny se vyskytuje částice s nulovou klidovou hmotností a spinem s=2, kterou lze identifikovat s gravitonem - kvantem gravitačních vln. To přivedlo J.Sherka a J.Schwarze v r.1974 k myšlence, že i když teorie strun není vhodná pro popis silných interakcí, mohla by se stát vhodným nástrojem k budování kvantové teorie gravitace. Přitom však velikost těchto hypotetických strun je nutno z původně uvažovaných 10-13cm radikálně zmenšit na rozměry 10-33cm Planckovy-Wheelerovy délky, charakteristické pro kvantovou gravitaci (zavedené v §B.4).
   Struny, či superstruny, jsou elementární jednorozměrné útvary, jež mohou - jakožto rezonátory - vibrovat v různých frekvenčních módech. Vibrace, jež jsou určeny rozměry struny a jejím napětím, jsou kvantovány, příslušná energie nabývá diskrétních hodnot. Frekvence těchto vibrací a počet vln určují základní vlastnosti částic (např. hmotnost či náboj). Jelikož má struna malé rozměry, může kmitat i v dalších nezávislých "směrech", daných extra-dimenzemi.
  Excitace superstrun mohou být "vibrační", "rotační", i excitace "vnitřních stupňů volnosti" - vnitřní symetrie, supersymetrie. Různé kvantové excitace (normální mody superstruny) se interpretují jako spektrum elementárních částic. Toto spektrum se ukazuje být natolik bohaté, že může modelovat nejen všechny stavební prvky standardního modelu elementárních částic, ale zahrnovat i kvantovou gravitaci. Úspěšné dokončení koncepce superstrun by tak představovalo jednotný přístup k různorodému světu elementárních částic a všech jejich interakcí - mohlo by být dosaženo tzv. "teorie všeho" TOE (Theory Of Everything).

Skutečně dokonalá unitární teorie "všeho" by měla vysvětlit i původ a konkrétní hodnoty základních přírodních konstant, resp. poměry těchto konstant. Toto otázka je z kosmologického hlediska stručně diskutovaná v §5.5, pasáž "Původ přírodních konstant".

-------- níže uvedené poznatky vznikly až po sepsání knihy "Gravitace, černé díry ...", takže v knižním vydání nebyly obsaženy -----

Další dimenze, M-teorie, 11-rozměrná teorie superstrun
Další vývoj teorie superstrun pokračoval výzkumy M.Grena, J.Schwarze a E.Wittena, kteří nalezli takové kalibrační grupy, aby teorie superstrun byla plně kovariantní v prostoročase (v duchu OTR). Bylo nalezeno pět takových modelů teorie superstrun, z nichž nejzajímavější se jevily dvě tzv. heterotonické teorie s kalibračními grupami SO(32) a S8´S8.
  Významnou úlohu v teorii superstrun v posledních letech sehrála analýza matematické (a z toho následně plynoucí i fyzikální) ekvivalence neboli duality mezi různými modely superstrun. Tyto duality představují nové typy symetrií, sjednocující různé modely, které mohou mít na první pohled odlišnou formu, avšak vedou k rovnocenným fyzikálním výsledkům. Byly nalezeny dva typy dualit mezi stávajícími modely superstrun. S-dualita se projevuje ekvivalencí dvou modelů superstrun, v nichž zaměníme vazbovou konstantu g za její převrácenou hodnotu: g ® 1/g. T-dualita má geometrický charakter: model s určitou souřadnicí, zkompaktifikovanou na kružnici poloměru R, je ekvivalentní jinému superstrunovému modelu s kompaktifikací na kružnici ~ 1/R (přesněji Lstr2/R, kde Lstr je délka superstruny). Někdy je diskutována i tzv. U-dualita, vzniklá kombinací S a T-duality.
  Dalším důsledkem dualit a sjednocení superstrunných modelů je rozšíření vlastní dimenze strun z původní d=1 na objekty s jiným (vyšším) počtem p prostorových rozměrů, např. 2-rozměrné objekty - membrány (odtud je odvozen zkrácený název "brány"). Takovéto vícerozměrné objekty se již nenazývají superstruny, ale p-brány: pro p=0 se jedná o bod, pro p=1 je to struna, pro p=2 membrána, atd.
   Studium strunových dualit ukázalo, že všechny stávající teorie superstrun lze sloučit do obecnější teorie, zvané M-teorie (E.Witten, 1995; označení "M" pochází z názvu membrane, někteří autoři jej dávají do souvislosti s přívlastky mystery, magic a pod.) *). Takovou sjednocenou M-teorii lze přitom realizovat pomocí zvýšení dimenze variety na d=11. Srovnáme-li to s koncepcemi výše uvedené supergravitace, vidíme, že počet dimenzí se shoduje s 11-rozměrnou supergravitací; těsné souvislosti mezi oběma unitárními teoriemi, aspoň v nízkoenergetickém limitním případě, byly byly též analyticky prokázány.
*) Byla též navržena další varianta, tzv. F-teorie (C.Vafa, 1996), používající primárně 12 rozměrů, z nichž však dva jsou imanentně stočeny (do 2-toroidu). Poskytuje velké množství řešení, potenciálně snad použitelných v modelech částicové fyziky...
Alegoricky se někdy označení "M" dává do souvislosti s "Matkou" a "F" s otcem "Father".
   Šest extra-dimenzí obecného prostoru je zkompaktifikováno do vnitřní tzv. Calabi-Yau variety, jejíž geometrické vlastnosti SU(n) holonomie vhodně modelují symetrie interakcí a elementárních částic. Elementární superstruny mohou kmitat do různých dimenzí. Geometrická struktura vnitřního prostoru určuje zákony jednotlivých interakcí mezi elementárními částicemi a hodnoty fyzikálních konstant (jako jsou náboje a hmotnosti částic), které jednotlivé částice charakterizují - tedy "zjevné" přírodní zákony ve "vnějším" 3-rozměrném prostoru. Tyto základní fyzikální zákony, které jsme v naší přírodě a vesmíru vypozorovali, jsou zde však důsledkem vnitřních fundamentálnějších zákonů unitární teorie superstrun *).
*) Tyto unitární teorie připouštějí mnoho řešení s použitím různých akcí (lagrangiánů) a též v závislosti na tom, jak je vnitřní prostor zkompaktifikován. Těchto řešení může být nepřeberné množství. Můžeme to interpretovat i jako různé vesmíry s různými zjevnými zákony v 3+1-rozměrném prostoročase, což nás opět přivádí k úvahám o "multiverzu" v §5.5 "Mikrofyzika a kosmologie. Inflační vesmír" a v §5.7 "Antropický princip a existence více vesmírů"...
 Stručně shrnuto :
Všechno ve vesmíru je vytvořeno z malých vibrujících strun, které mohou kmitat různými způsoby a do různých směrů - dimenzí. Dodatečné "extra-dimenze" jsou nesmírně malé, takže je nemůžeme pozorovat ani změřit. Jsou stočené do malých smyček v Calabi-Yau varietě a ovlivňují pouze jevy v nejmenších sub-sub-mikroskopických měřítcích. Žijeme na 3(+1) - dimenzionálním řezu vícedimenzionálního prostoru; takový řez se nazývá brána. Všechny známé částice a síly jsou lokalizované na této bráně. Snad kromě gravitace, která podle některých hypotéz může "prosakovat" do dalších dimenzí (tím se někdy odůvodňuje, proč je tak slabá)..?..

Astrofyzikální a kosmologické důsledky teorií superstrun
Podobně jako u dřívějších kvantových teorií pole a vícedimenzionálních unitárních teorií, i zde se nabízejí zajímavé hypotézy astrofyzikálních a kosmologických důsledků *) teorie superstrun.
*) Diskuse některých kosmologických důsledků kvantových a vícedimenzionálních teorií byla nastíněna již např. v §5.5 "Mikrofyzika a kosmologie. Inflační vesmír" a v §5.7 "Antropický princip a existence více vesmírů". Astrofyzikální důsledky pro fyziku černých děr pak v §4.7 "Kvantové vyzařování a termodynamika černých děr".

  Různá řešení teorie superstrun, jakož i dalších unitárních teorií pole, mohou předpovídat různé vesmíry s různými vlastnostmi (dimenzemi, hodnotami fyzikálních konstant či spektry hmotností elementárních částic); k reflexi těchto možností a jejich selekci možná řekne své i antropický princip - viz "Antropický princip aneb kosmický Bůh".
   Rozhodnout mezi různými verzemi vzniku vesmíru na základě astronomických pozorování je velmi obtížné. Jedinou možností testování počátečních fází vesmíru je detekce reliktních gravitačních vln (zmíněných v §5.5), které jako jediný druh záření mohly projít hustou a ionizovanou látkou zaplňující raný vesmír. Tyto prvotní (reliktní) gravitační vlny by měly odlišné spektrum pro různé scénáře iniciálních fází vývoje vesmíru (např. pro inflační model by amplituda vln rostla směrem k dlouhým vlnovým délkám, pro ekpyrotický model naopak ke krátkým vlnovým délkám). Jejich změření však bude možné až v budoucnu pomocí velkých detektorů umístěných ve vesmíru, jako je připravovaná LISA (§2.7, část "Detekce gravitačních vln", závěrečná pasáž). Další možností je podrobná analýza fluktuací a polarizací reliktního mikrovlnného záření, které by mohlo být "modulováno" primordiálními gravitačními vlnami.

Závěrečná poznámka :
Teorie superstrun je v současné době ve stádiu intenzívního rozvoje. Kromě průkopníků J.Schwarze, M.Greena, E.Wittena, .......... na ní pracuje několik stovek fyziků (především mladší generace) a řada výzkumných skupin. Z našich fyziků se teorii superstrun velmi aktivně a úspěšně věnují zejména P.Hořava a L.Motl, ...[..],[..]....
  Superstrunová teorie je mnohými fyziky považována za nejnadějnějšího současného kandidáta na úplnou unitární teorii pole, sjednocující všechny 4 typy interakcí a též kvantovou fyziku s obecnou teorií relativity, na toužebně očekávanou "teorii všeho". Řada fyziků je však k teorii superstrun skeptická. Poukazují na nejednoznačnost jejích závěrů, neprůhlednost a přílišnou matematickou komplikovanost, především pak na obtížnost, ba nemožnost experimentálního ověření v dohledné budoucnosti.
   Určité možnosti nepřímého ověření by mohly vyplývat z experimentálního měření elektrického a gravitačního silového působení na mikroskopicky krátkých vzdálenostech, kde by obvyklý zákon obrácených čtverců ~1/r2 mohl být jemně modifikován závislostí ~1/r2+d, v níž by se projevoval počet dodatečných (skrytých) dimenzí d..?.. A obecně měření částicových interakcí na urychlovačích při čím dál vyšších energiích, v nichž by se mohly projevovat napatrné anomálie od standardního modelu...

B.5. Kvantování gravitačního pole   B.7. Obecné principy a
perspektivy unitární teorie pole
Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu :
Gravitace ve fyzice Obecná teorie relativity Geometrie a topologie
Černé díry Relativistická kosmologie Unitární teorie pole
Antropický princip aneb kosmický Bůh
Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření
AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie

Vojtěch Ullmann