Kapitola 4
ČERNÉ   DÍRY
4.1. Úloha gravitace při vzniku a evoluci hvězd
4.2. Konečné fáze hvězdné evoluce. Gravitační kolaps
4.3. Schwarzschildovy statické černé díry
4.4. Rotující a elektricky nabité Kerrovy-Newmanovy černé díry
4.5. Teorém "černá díra nemá vlasy"
4.6. Zákony dynamiky černých děr
4.7. Kvantové vyzařování a termodynamika černých děr
4.8. Astrofyzikální význam černých děr
4.9. Úplný gravitační kolaps - největší katastrofa v přírodě

4.3. Schwarzschildovy statické černé díry

To, co bylo kvalitativně řečeno v předchozím odstavci o průběhu gravitačního kolapsu, je založeno na podrobné analýze nejjednoduššího modelu gravitačního kolapsu, kolapsu sféricky symetrického. V §3.4 jsme odvodili prostoročasovou geometrii odpovídající sférické symetrii - Schwarzschildovu geometrii. Při sférické symetrii podle Schwarzschildovy-Birkhoffovy věty 3.3 bude geometrie prostoročasu Schwarzschildovská i v nestatickém případě. Pokud tedy bude gravitační kolaps probíhat tak, že sférická symetrie bude neustále přesně zachována (tj. jak distribuce hmoty, tak i její pohyb bude přesně radiální), bude geometrie okolního prostoročasu Schwarzschildova během celého průběhu gravitačního kolapsu. V počátečních fázích, kdy poloměr hvězdy je mnohem větší než gravitační poloměr, se bude realizovat jen část Schwarzschildovy geometrie vně hvězdy, zatímco uvnitř bude prostoročasová geometrie odlišná (vnitřní řešení blízké Friedmanovu (5.22,28), závislé na vnitřní struktuře a pohybu hmoty). V konečných fázích kolapsu, kdy se hvězda o hmotnosti M stlačí pod svůj gravitační poloměr, bude mít okolní prostoročas již všude Schwarzschildovu geometrii (odvozenou v §3.4, vztah (3.13))

(4.4)

Schwarzschildova geometrie prostoročasu tedy popisuje statickou sféricky symetrickou černou díru. Některé rysy Schwarzschildovy geometrie byly rozebírány v §3.4; zde si tento obraz rozšíříme s ohledem na fyzikální vlastnosti černé díry.

To, co dělá černou díru černou dírou, je existence horizontu událostí, v tomto případě tedy Schwarzschildovy sféry r=2M, na které je úniková ("2.kosmická") rychlost rovna právě rychlosti světla. Možnost rovnoměrného kruhového pohybu fotonu v poli Schwarzschildovy černé díry dostaneme, položíme-li ve vztahu (4.4) pro interval požadavky ds² =0, dr=0, J =p/2 a d²j/dt²= 0 (rovnoměrnost). Vydělením dt dostaneme (dj/dt)² = (1 - 2M/r)/r² a po další derivaci vzhledem k požadavku d²j/dt²= 0 obrdžíme rešení r = 3M = r_f . Kromě Schwarzschildovy sféry tedy kolem černé díry existuje ještě jedna význačná sféra - tzv. fotonová sféra

což je geometrické místo bodů, ve kterých je "1.kosmická" rychlost rovna rychlosti světla, takže v této vzdálenosti mohou fotony obíhat po kruhových orbitách kolem černé díry (obr.4.8). Toto jsou zároveň nejnižší (mezní) kruhové orbity (viz níže); pod fotonovou sférou již žádné kruhové orbity nemohou existovat, každé těleso se zde musí pohybovat velkou rychlostí směrem ven, nechce-li být pohlceno černou dírou.

Pohyb částic v poli Schwarzschildovy černé díry. Efektivní potenciál.
Nyní můžeme již cíleně pokračovat v analýze geodetického pohybu testovacích částic ve Schwarzschildově geometrii černé díry. Použijeme k tomu rovnic (3.17)-(3.19), které si zde vypíšeme znovu:

V limitním přechodu r®Ą je (dr/dt)² ®1/K² -1, dt/dt®1/K. Časová složka čtyřhybnosti p_i = m_o.dx_i/dt je E ş p_o = m_o.dt/dt. Veličina 1/K má teď význam celkové energie v nekonečnu na jednotku vlastní hmotnosti častice: 1/K =`E<sub>Ą</sub> ;`L je moment hybnosti na jednotku hmoty. Tedy dt = E_Ą^-1.(1-2M/r)dt a rovnice (4.6a) zní

což je výhodné napsat ve tvaru

kde

Derivování (4.8) podle t dává rovnici 2.d²r/dt² = - ¶V²(r)/¶r . Veličina V²(r) má tedy význam efektivního potenciálu v rovnici popisující závislost mezi r a t, tedy pro radialní složku pohybu. Po dosazení dt = (r²/`L)dj z (4.6b) do (4.8) se získá rovnice mezi r a j :

Efektivní potenciál V²(r) se skládá ze tří částí:
a) Obvyklá přitažlivá část úměrná r^-1;
b) Odpudivá část (úměrná r^-2) popisující odstředivou bariéru;
c) Další, čistě relativistická přitažlivá část úměrná r^-3, vytvářející "jámu" v efektivním potenciálu kolem r=0.
Průběh efektivního potenciálu pro různé hodnoty momentu hybnosti testovací částice je na obr.4.6 vlevo, kde jsou též vyznačeny oblasti v nichž dominují výše zmíněné části a,b,c. Jestliže známe efektivní potenciál V(r) a energii `E_Ą, můžeme na základě rovnice (4.8) stanovit radiální složku pohybu testovací částice.

Obr.4.6. Efektivní potenciál pro pohyb testovací částice v poli Schwarzschildovy černé díry.
Vlevo: Průběh efektivního potenciálu V(r) pro různé hodnoty specifického momentu hybnosti `L částice.
Vpravo: Radiální složka pohybu testovací částice mající specifickou energii `E_Ą a moment hybnosti `L je určena efektivním potenciálem V<sub>L</sub>(r). Průsečíky přímky V=`E_Ą s křivkou V=V(r) jsou body obratu, kde radiální složka pohybu mění svůj směr. Přímka I má dva průsečíky A a B, což odpovídá eliptické orbitě s perihéliem r=r_A a "afeliem" r=r_B. Přímka II protíná křivku V(r) jen v jednom bodě C, který je lokálním minimem - jedná se o stabilní kruhovou orbitu o poloměru r=r_C. Přímka III protíná V(r) též v jednom bodě D, který je však maximem - příslušná kruhová orbita o poloměru r=r_D bude nestabilní.

Některé význačné vlastnosti orbit testovacích částic lze zjistit i bez podrobného řešení příslušných pohybových rovnic (4.6). Jak je vidět z rovnice (4.8) nebo (4.10), radiální složka pohybu testovací částice mění svůj směr na opačný tehdy, když `E<sub>Ą</sub><sup>2</sup>- V<sup>2</sup>(r) mění znaménko. Hodnota r, pro niž je efektivní potenciál roven energii testovací částice, V(r) = `E_Ą, je tedy místem obratu, kde se přibližování k černé díře zastaví a nastane vzdalování, nebo naopak vzdalování od černé díry se změní v přibližování.

Různé možnosti jsou ilustrovány na obr.4.6 vpravo. Přímka I reprezentující určitou energii _I`E<sub>Ą</sub> testovací částice protne funkci V(r), odpovídající danému momentu hybnosti `L testovací částice ve dvou bodech A a B. Rádiální složka pohybu bude vypadat potom asi tak, jako kdybychom na příslušnou svisle postavenou vymodelovanou křivku V(r) umístili malou kuličku ve výšce `E<sub>Ą</sub> (tj. do bodu A nebo B) a nechali ji v zemské tíži volně kutálet; kulička by se periodicky kutálela mezi body A a B a její souřadnice r by kmitala mezi hodnotami r=r<sub>A</sub> a r=r<sub>B</sub>. Testovací částice tedy obíhá po přibližně eliptické orbitě s "perihéliem" r=r<sub>A</sub> a s "aféliem" r=r<sub>B</sub>. V případě, že rovnice V(r)=`E_Ą má jen jeden kořen, tj. rovnost V(r)=`E_Ą nastane v bodě, kde má funkce V(r) extrém, ustaví se rovnováha mezi gravitační a odstředivou silou - bude se jednat o kruhovou orbitu. Na obr.4.6 vpravo to nastává pro přímky II a III. Přímka II protne křivku V(r) v bodě C jejího lokálního minima. Kulička položená do bodu C tam bude stále (její radiální souřadnice r=r_C se nemění) - testovací částice bude kolem černé díry obíhat po stabilní kruhové dráze. Přímka III protíná křivku V(r) v bodě D jejího lokálního maxima, jedná se opět o kruhovou dráhu. Tato kruhová orbita však není stabilní, kulička položená do bodu D se vlivem sebemenší výchylky skutálí dolů buďto vlevo k r=2M nebo vpravo. Kruhový pohyb testovací částice na takové labilní kruhové orbitě se i vlivem malé poruchy změní ve spirálový, buď směrem dovnitř k r=2M (částice je pohlcena), nebo směrem ven.

Z rovnice ¶V(r)/¶r = 0 plyne, že při `L> 2.Ö(3).M má funkce V(r) lokální maximum a minimum v bodech

(4.11)

V případě `L < 2.Ö(3).M neexistuje žádné minimum ani maximum a tedy neexistuje řádná stabilní kruhová orbita. Pro částici padající s `L < 2.Ö(3).M se tedy neuplatní odstředivé odpuzování, které by jí zabránilo dopadnout na poloměr r=2M, a taková částice bude pohlcena. Pro `L = 2.Ö(3).M splývají maximum a minimum v jediný inflexní bod (viz obr.4.6 vlevo) při r=6M - odpovídá to nejnižší možné stabilní kruhové orbitě. Maximum odstředivé bariéry je v bodě r=r<sub>max</sub> podle (4.11), takže pokud celková energie částice je `E_Ą> V(r_max), je odstředivá bariéra překonána a částice je pohlcena černou dírou.

Některé typy trajektorií testovacích částic v poli Schwarzschildovy černé díry jsou znázorněny na obr.4.7. Ve velkých vzdálenostech r>>2M od černé díry se situace valně neliši od Newtonovy mechaniky: existují zde hyperbolické, eliptické nebo stabilní kruhové dráhy podobné Keplerovským (u eliptických orbit se projevuje pouze malé stáčení "perihelia", jak bylo změřeno u Merkuru, viz níže).

Obr.4.7. Základní druhy orbit testovacíc částic v poli Schwarzschildovy černé díry: Trajektorie končící na horizontu (částice je pohlcena), parabolické a hyperbolické dráhy začínající a končící v nekonečnu, "eliptické" a kruhové orbity odpovídající obíhání vázané částice kolem černé díry. Není zde zachycena precese eliptických - skutečný jejich tvar viz na obr.4.12.

V oblastech blízkých k černé díře (tj. při r v rozmezí od 2M do asi 10 M) se však trajektorie testovacích částic značně liší od Newtonovských. Jak bylo ukázáno výše, každá částice s momentem hybnosti `L < 2.Ö(3).M bude pohlcena černou dírou bez ohledu na svou energii `E_Ą (zatímco v Newtonově teorii je u r=0 odstředivá bariéra nekonečně vysoká a na střed může dopadnout pouze částice s přesně nulovým momentem hybnosti). Pro částici s `L = 2.Ö(3).M existuje již jedna stabilní kruhová orbita r = r<sub>ms</sub>, po níž částice (pokud má patřičnou energii `E_Ą) může obíhat:

r_ms   =   6 M   =   6 M G / c²    ;      

je to nejnižší stabilní kruhová orbita (stabilní je pouze vůči poruchám směrem ven, avšak labilní vůči výchylkám dovnitř, viz obr.4.6 vlevo).

Částice s momentem hybnosti `L> 2.Ö(3).M mají již všechny možnosti pohybu, v závislosti na své energii `E_Ą. Jednak se mohou pohybovat po eliptických orbitách s nejnižším a nejvyšším bodem daným vztahem (4.11). Dále pro tyto částice existují stabilní kruhové dráhy v minimech potenciálu V(r) a labilní kruhové orbity v maximech potenciálu V(r). Podle vzorce (4.11) se poloměry stabilních kruhových orbit pohybují v rozmezí od r=6M (pro `L = 2.Ö(3).M) do r=Ą (pro `L=Ą) a poloměry labilních kruhových drah v rozmezí od r=3M (pro `L=Ą) do r=6M (pro `L = 2.Ö(3).M ). Částice přicházející z r= Ą s energií `E<sub>Ą</sub> < V<sub>max</sub>, t.j podle vztahu ( 4.9) s energií `E_Ą² < (1 - 2M/r²_max)(1 + `L<sup>2</sup>/r<sup>2</sup><sub>max</sub>), kde r<sub>max</sub> je dáno vztahem (4.11), se budou pohybovat po zakřivené dráze (ve větších vzdálenostech blízké hyperbolické dráze), dosáhnou "perihélia" a vzdálí se znovu k r=Ą. Částice přicházející z nekoneena s energií `E_Ą > V_max jsou však pohlceny černou dírou.

Pro výpočet periody (a úhlové rychlosti) oběhu testovací částice po kruhové dráze ve Schwarzschildově poli použijeme vztah (4.6b), kam dosadíme dt = (1/`E).(1-2M/r)dt z (4.6c). Dostaneme

w   ş  dj / dt   =  (`L/r<sup>2</sup>) (1 - 2M/r) /`E_Ą   .     

Podmínka kruhového pohybu je `E<sub>Ą</sub>= V(r) a r=r<sub>min</sub> (stabilní kruhová orbita) nebo r=r<sub>max</sub> (nestabilní kruhová dráha). Ze vztahu (4.11) snadno dostaneme `L² = M².r²/(M.r - 3.M²) nezávisle na tom, zda se jedná o stabilní nebo labilní kruhovou orbitu. Když tyto podmínky dosadíme do vztahu pro dj/dt, dostaneme po úpravě

w   =  Ö(M/r³ )  ,  tj.  T   =  2pÖ(r³/M) .     

Vidíme tedy, že pro kruhové orbity (stabilní i nestabilní) ve Schwarzschildově poli si zachovává přesnou platnost Keplerův zákon M =w² r³ známý z Newtonovy nerelativistické fyziky.

Šíření světla v poli Schwarzschildovy černé díry
Při analýze pohybu fotonů (stejně jako i jiných částic s nulovou klidovou hmotností) můžeme postupovat v zásadě trojím způsobem:
a) Použít buď přímo rovnici ds²=0 s určitými zadanými podmínkami (tak jsme to udělali na začátku tohoto odstavce při odvozování fotonové sféry);
b) Nebo použít rovnici geodetiky (3.16) v níž je parametr ds=dt( =0) nahrazen jiným vhodným nenulovým afinním parametrem l spojitě se měnícím podél trajektorie fotonu (lze např. vzít l = t);
c) Nebo konečně vyšetřovat pohyb částice s nenulovou klidovou hmotností m_o a pak přejít k limitě m_o® 0.

Při tomto posledním způsobu však rovnice (4.8) a (4.10) nejsou přímo použitelné, protože veličiny `E<sub>Ą</sub>= E<sub>Ą</sub>/m<sub>o</sub> a `L = L/m_o energie a momentu hybnosti na jednotku vlastní hmotnosti jsou nekonečné. Poměr těchto veličin, v němž se m_o vykrátí, se však blíží konečné hodnotě, lim_{mo® 0}(`L/`E_Ą) = b, rovné srážkovému parametru b definovanému jako poměr momentu hybnosti testovací částice ku její hybnosti:

Srážkový parametr b, což je vzdálenost od středu r=0 v níž by přímkový paprsek procházel nebýt ovlivňování gravitací, určuje chování fotonu v daném Schwarzschildově poli černé díry (pohyb fotonu v gravitačním poli je dán pouze jeho směrem a nezávisí na jeho energii).

Sloučením rovnic (4.6b) a (4.7) dostaneme po limitním přechodu m_o® 0, `L®Ą rovnici orbity fotonu

Místo, v němž 1/b² = (1 - 2M/r)r² je zde bodem obratu, kde radiální složka pohybu mění svůj směr. Aby tedy foton mohl dosáhnout místa se souřadnicí r, musí jeho srážkový parametr splňovat nerovnost

Výraz na pravé straně této nerovnosti (hrající zde podobnou úlohu jako efektivní potenciál v rovnici (4.8)) má minimální hodnotu 3.Ö(3).M pro r=3M. Tedy pouze foton se srážkovým parametrem b < 3.Ö(3).M může dosáhnout libovolné (libovolně malé) hodnoty souřadnice r - je pohlcen černou dírou. Stejný výsledek dostaneme i ze vztahu (4.11), v němž limitní přechod m_o® 0, tj. `L®Ą dává r_max= 3M.

Obr.4.8. Schématické znázornění Schwarzschildovy sféry (horizontu), fotonové sféry, výstupních světelných kuželů a možností pohybu fotonů v poli Schwarzschildovy černé díry.

Na obr.4.8 jsou znázorněny výstupní světelné kužely (nezaměňovat s prostoročasovými světelnými kužely!) v různých vzdálenostech od černé díry. Výstupním kuželem zde rozumíme kužel s vrcholem v daném bodě takový, že fotony vyzářené směrem ležícím uvnitř tohoto kuželu (na obr.4.8 světlá výseč) nejsou zachyceny a mohou odejít do nekonečna, zatímco světlo vyzářené směrem ležícím vně tohoto kuželu bude pohlceno černou dírou (tmavá šrafovaná výseč). Ve velkých vzdálenostech r >>3M od černé díry má výstupní kužel geometrii blízkou 4p. Do nekonečna odtud mohou odejít téměř všechny fotony s výjimkou fotonů vyzářených ve směru k černé díře v úzkém kuželu o úhlu takovém, pod jakým zorným úhlem se z dané vzdálenosti jeví koule o poloměru r_z = 3.Ö(3).M ; dráhy takových fotonů se zakřiví v gravitačním poli tak, že jsou pohlceny černou dírou. Jinak řečeno, všechny fotony mající srážkový parametr menší než r_z = 3.Ö(3).M jsou pohlceny (obr.4.9). Černá díra se pro fotony přicházející z nekonečna jeví jako totálně absorbující koule o poloměru 3.Ö(3).M. Učinný průřez záchytu fotonů (a každých relativistických částic) Schwarzschildovou černou dírou je tedy roven

Obr.4.9. Fotony přicházející ke Schwarzschildově černé díře se srážkovým parametrem b<3.Ö(3).M jsou pohlceny, fotony s b=3.Ö(3).M se dostanou na fotonovou sféru, při b>3.Ö(3).M jsou dráhy fotonů pouze zakřiveny, avšak fotony uniknou z pole černé díry.

S přibližováním k černé díře se výstupní světelný kužel samozřejmě zužuje (obr.4.8), a to rychleji než by odpovídalo čistě geometrické představě vycházející z rozměru černé díry r_g=2M v jinak rovinném prostoru. Ve vzdálenosti r=3M (na světelné sféře) má výstupní kužel úhel rovný jen 2p a s dalším přibližováním k černé díře se rychle zužuje. Ve vzdálenosti r=rg=2M (na horizontu) se výstupní kužel již zcela uzavře - jeho úhel je roven nule (nikoliv 2p jak by vyplývalo z prostého geometrického názoru bez přihlédnuti k neeukleidovským vlastnostem prostoročasu). Jen paprsek vyzářený přesně kolmo "nahoru" zde nebude pohlcen a mohl by teoreticky uniknout, avšak s nekonečným rudým posuvem; takové fotony vyzářené radiálně z horizontu směrem ven zůstávají na horizontu neomezeně dlouho, v prostoročase se stále pohybují spolu s horizontem (horizont je "generován" nulovými geodetikami - viz teorém 3.1).

Odklon částic a světla ve Schwarzschildově poli
Řešení rovnice (4.10), která je diferenciální rovnicí tvaru orbity, vede na eliptické integrály a nelze jej proto obecně analyticky vyjádřit. Pro nalezení přibližného řešení, použitelného ve větších vzdálenostech od černé díry (r>>M), je výhodné zavést inverzní radiální souřadnici u = M/r, která má přímý vztah k prováděné aproximaci. Efektivní potenciál v proměnné u je V²(r)= (1-2u)(1 + L²u²/M²), moment hybnosti je užitečné vyjádřit pomocí srážkového parametru a rychlosti v nekonečnu: `L² = v_Ą²b²/(1-v_Ą²). Rovnice (4.10) pak nabude tvar

V dostatečně velké vzdálenosti od středu je člen 2u³ zanedbatelně malý a rovnice (4.10') popisuje kuželosečku s ohniskovým parametrem p ş f/2 = v_Ą²b²/M²(1 - v_Ą²) a výstředností e = Ö[v_Ą²(2v_Ą²-1).b²/M³.(1-v_Ą²) + 1]. Dodatečné efekty OTR jsou způsobeny členem 2u³ v rovnici (4.10'); ve velkých vzdálenostech od středu tento člen způsobuje jen nepatrné odchylky od běžných keplerovských orbit, avšak ve vzdálenostech blízkých gravitačnímu poloměru tento člen hraje rozhodující úlohu a trajektorie testovacích částic se zde diametrálně liší od keplerovských.

Vyšetřujme nejprve hyperbolický pohyb podle obr.4.10a; bude nás zajímat úhel a, o který se částice odchýlí ze svého původního asymptotického směru. Tento úhel je dán úhlem mezi asymptotami orbity částice : a = j(t=+Ą) - j(t=-Ą) - p = 2 [j(r=r_m) - j(r=Ą)] - p/2. Při dostatečně vysoké hodnotě srážkového parametru b bude pohyb testovací částice probíhat ve velkých vzdálenostech, tj. u<<1 bude splněno ve všech bodech trajektorie. Derivováním rovnice (4.10') se získá rovnice

d²u / dj² + u - M² (1 - v_Ą²) / (v_Ą² b²) =  3 u²  .

Zanedbáme-li pravou stranu 3u², bude řešení této rovnice popisovat přímočarý pohyb (nultá aproximace). Dosazením tohoto řešení nulté aproximace do členu 3u² a opětovným řešením vzniklé diferenciální rovnice se získá trajektorie částice v prvním přiblížení, vyhovujícím již pro daný účel. Uhel a potom vychází

Tento vztah udává hodnotu odchylky od přímkového pohybu testovací částice pohybující se ve Schwarzschildově poli libovolnou rychlostí v_Ą (<=1) s dostatečně velkým impaktním parametrem b; v tomto případě je srážkový parametr b přibližně rovný vzdálenosti r_m bodu největšího přiblížení částice ke středu r=0. Vzorec (4.16) platí i pro v_Ą= 1, takže úhel odklonu dráhy světla ve Schwarzschildově gravitačním poli je roven

Pro světelný paprsek procházející těsně kolem povrchu Slunce (b » 7.10⁵km) tento úhel odklonu vychází a_fot » 8,5.10^-6rad = l,75'', což bylo potvrzeno pozorováními při úplném zatmění Slunce. V Newtonově teorii (kde se foton považuje za částici mající v nekonečnu rychlost c) vychází úhel odklonu dráhy fotonu poloviční než udává vzorec (4.16'). Výsledky pozorování jednoznačně potvrzují hodnotu úhlu odpovídajicí OTR.

Gravitační čočky. Optika černých děr.
Zakřivování dráhy světla v gravitačním poli vede k efektu, který je schématicky znázorněn na obr.4.10b. Jestliže poblíž spojnice pozorovatele O s nějakým zdrojem světla P (třebas hvězdou nebo quasarem) se nachází nějaké velmi hmotné těleso M, budou světelné paprsky ze zdroje P na své cestě k pozorovateli O gravitačním polem zakřivovány (např. paprsek III, který by jinak spojoval zdroj s pozorovatelem, se odchýlí a pozorovatel O jej neuvidí). Pozorovatele O zasáhne zakřivený paprsek I, takže zdroj P se pozorovateli bude jevit v poloze P₁. Jsou-li však rozměry objektu M dostatečně malé vzhledem k hmotnosti M, může světlo k pozorovateli O přicházet ještě i po druhé cestě - paprsku II. Pozorovatel v takovém případě místo jednoho skutečného zdroje světla P bude vidět dva zdánlivé zdroje P₁ a P₂. Pokud však zdroj P, těleso M a pozorovatel O leží na jedné přímce, bude se bodový zdroj P jevit jako prstenec kolem osy OM - tzv. Einsteinův prstenec (viz obrázek níže), při malé odchylce od přímkové konfigurace pak bude zdroj P zobrazen jako oblouk.

Obr.4.10. K ohybu světla ve sférickém gravitačním poli.
a) Trajektorie fotonu se při průchodu kolem hmotného objektu M odchýlí od původního směru o úhel a, (daný úhlem, který svírají asymptoty hyperbolické trajektorie fotonu). Toto schéma je použitelné i pro testovací částice nenulové klidové hmotnosti.
b) Efekt gravitační čočky způsobený zakřivováním paprsků světla vycházejícího ze zdroje P při průchodu gravitačním polem mezilehlého tělesa M. Pozorovatele O zasahují paprsky I a II, takže zdroj P se odtud jeví jako dva zdroje Pl a P2.

Označíme-li úhel mezi spojnicemi pozorovatele O se zdrojem P a gravitujícím tělesem M jako g, bude úhel d, pod kterým se vzhledem ke spojnici OM bude jevit světelný zdroj P, dán rovnicí

d² - g d - 4 G M / [x₂(x₁+x₂) c²]   =   0         

platnou tehdy, jestliže všechny úhly vyznačené na obr.4.10b jsou dostatečně malé. Tato kvadratická rovnice má obecně dvě řešení d₁ a d₂ odpovídající dvěma možným světelným paprskům I a II, kterými se světlo ze zdroje P může dostat k pozorovateli O. Tento zajímavý jev se nazývá efekt gravitační čočky.
    Zde nachází své konkrétní vyjádření poznatek zmíněný v §2.4, že nehomogenní gravitační pole se pro průchod elektromagnetického vlnění chová jako opticky nehomogenní průzračné prostředí. Z optického hlediska se gravitující sférické těleso o hmotnosti M pro světlo jeví jako jakási spojná "čočka", jejíž optická mohutnost je největší v oblastech kolem povrchu tělesa (pokud se jedná o černou díru, je to ve vzdálenosti r=3.Ö(3).M, pro niž je obrazová ohnisková vzdálenost rovná 3M) a klesá k nule ve velkých vzdálenostech.

Obr.4.11. Vliv sférické gravitační čočky na rovhoběžný svazek světelných paprsků. a) Za tělesem poloměru většího než 3M jsou tři oblasti: oblast "stínu" A; oblast B, kde každým bodem prochází pouze jeden paprsek; oblast C, kde každým bodem procházejí dva prsky. b) V případě černé díry oblasti A a B neexistují, každým bodem mohou procházet nejméně dva paprsky (celý prostor kolem ní je oblastí C ).

Na obr.4.11 je schématicky znázorněna situace jež nastane, je-li těleso či černá díra ozařována širokým rovnoběžným svazkem světla (z nekonečna). Pokud má sférické těleso hmotnosti M poloměr větší než 3M (tj. nejedná se o černou díru), můžeme prostor za takovým tělesem rozdělit na tři optické oblasti (obr.4.11a). Bezprostředně za tělesem je oblast "stínu" A způsobeného absorbcí světla v tělese. V oblasti B každým bodem prochází pouze jeden paprsek, zatímco v oblasti C každým bodem procházejí vždy dva gravitací zakřivené paprsky (dvojité zobrazení) a může zde proto docházet k interferenci. Jestliže těleso M má poloměr menší než 3M (prakticky se tedy jedná o černou díru), oblast "stínu" A i oblast B zde chybějí, celý prostor kolem černé díry pro r > 3M je oblastí C (každým bodem procházejí nejméně dva zakřivené paprsky) - černá díra nevrhá stín ! 
    Optika černých děr je tedy velmi pestrá a zajímavá. Posvítíme-li např. kuželem světla z nějaké konečné vzdálenosti na černou díru, vrátí se nám určitá malá část fotonů zpět: některé fotony se totiž poblíž fotonové sféry zakřiví tak, že obkrouží černou díru o 180° ve vzdálenosti o něco větší než 3,5.M a přijdou zpět do místa, odkud byly vyzářeny (některé případně i po vícenásobném oběhu v blízkosti fotonové sféry) - efekt jakési "gravitační retročočky". Z tohoto hlediska se tedy černá díra v "odraženém světle" nejeví tak absolutně "černá", jak by se dalo čekat. V každém případě (ať pozorujeme černou díru z kterékoli strany vzhledem ke zdroji světla) kolem černé díry osvětlované dostatečně intenzívním proudem světla budeme vidět jakousi "svatozář" - svítící prstenec o poloměru o něco menším než 3.(Ö3).M *); ve skutečnosti to bude řada soustředných prstenců odpovídajících jednoduchému, dvojnásobnému a vícenásobným oběhům fotonů kolem černé díry v blízkosti fotonové sféry, tj. fotonům odkloněným černou dírou o úhly Dj = j_o + 2kp, k=1,2,3,... (j_o je úhel mezi zdrojem a pozorovatelem). Intenzita tohoto prstence ve srovnání s intenzitou primárního zdroje je však velmi malá. Další zajímavostí je, že pozorovatel na fotonové sféře (kdyby tam mohl existovat) by v dálce před sebou uviděl svá vlastní záda.
*) Efekt se tak trochu podobá světelné "glórii" ve vodních kapkách ozářených slunečním světlem.

Pohled na hvězdnou oblohu ve smětu k černé díře ukazuje řadu zhuštěných zobrazení celé množiny hvězd oblohy, naskládaných ve formě stále užších na sebe navazujících prstenců kolem černé díry.

Toto silné zakřivení světelných paprsků v blízkosti černé díry by se velmi zvláštně projevilo na vzhledu hvězdné oblohy pro pozorovatele nacházejícího se v blízkosti černé díry. Černá díra, která je z optického hlediska absorbující černé těleso, se proti hvězdné obloze sice jeví jako tmavý kotouč, avšak sama nic nezastiňuje - pozorovatel vidí na obloze i nadále všechny hvězdy včetně těch nacházejících se "za" černou dírou. Jen jejich polohy v těchto směrech se jeví podstatně změněné - rozptýlené a zahuštěné v okolí prstence r=3.(Ö3)M kolem černé díry.
    Navíc by zde každou hvězdu bylo možno spatřit mnohokrát v různých směrech - pozorovatel by viděl nejen jednu oblohu, ale (v principu) nekonečný počet jejích smrsknutých obrazů, natlačených do soustředných mezikruží kolem černé díry. "Nultá", základní obloha, je tvořena paprsky, které jdou od zdroje světla přímo k pozorovateli. 1.obraz oblohy, tvořený paprsky, které na cestě k pozorovateli udělaly jeden oběh kolem černé díry, se zobrazuje v mezikruží o poloměru asi 5,2.M kolem černé díry. 2.obraz oblohy je viditelný jako další užší mezikruží uvnitř prvního a odpovídá paprskům, které oběhly černou díru dvakrát. A tak dál, každý další gravitační obraz oblohy je tvořen navazujícím čím dál užším (a tmavším) mezikružím, ležícím blíže k fotonové sféře r=3.M.
  Jas těchto obrazů je celkově velmi malý a rozměry prstenců činí řádově kilometry (pro černé díry hvězdných hmotností), takže tento bizarní optický efekt by byl viditelný jen pro pozorovatele v dostatečné blízkosti černé díry; pro vzdálené pozorovatele - tedy i pro naše astronomy - by násobné obrazy byly naprosto nerozlišitelné.

Gravitační čočky ve vesmíru
I když efekt gravitační čočky je již dlouho dobře známým důsledkem obecné teorie relativity, byl poprvé pozorován teprve zcela nedávno. Při pozorování hvězd je zakřivování dráhy světla gravitačním polem jiných hvězd zcela nepatrné a efekt gravitační čočky se prakticky neprojevuje, protože gravitační pole běžných hvězd je poměrně slabé a rychle klesá se vzdáleností. K dosažení znatelného efektu by proto dvě hvězdy musely téměř přesně ležet na přímce procházející pozorovatelem; pravděpodobnost takové konfigurace je velmi malá. Učinnými gravitačními čočkami mohou být galaxie (které mají hmotnost řádově ~10⁸-10¹² -krát větší než průměrná hvězda), přičemž ovšem světelným zdrojem, na němž se efekt čočky pozoruje, pak musí být nějaký velmi vzdálený objekt, aby byla určitá pravděpodobnost, že světlo při cestě k nám bude procházet dostatečně blízko kolem nějaké takové hmotné galaxie. Masívní galaxie nebo kupa galaxií tedy svým gravitačním zakřivováním elektromagnetických paprsků působí jako obrovská "čočka", přes kterou se díváme do vzdálenějšího vesmíru.
    Skutečně, v r. 1979 byla objevena neobvyklá dvojice kvasarů QSO 0957+561 A,B (úhlová vzdálenost mezi nimi činí 5,7''), které mají stejný rudý posuv z=1,41, prakticky identická spektra a též málo rozdílný jas (navíc poměr jasu objektu A a B je stejný ve všech pozorovaných oblastech vlnových délek - radiových, infračervených, optických i ultrafialových) []. Přirozeným vysvětlením těchto neobvyklých souvislostí je to, že pozorujeme nikoli dva různé kvasary, ale kvasar jeden, jehož obraz je rozštěpen na dvě složky gravitační čočkou. Toto vysvětlení je dále posíleno tím, že v úhlové vzdálenosti 0,8'' od objektu B byla nalezena obří eliptická galaxie (jejíž hmotnost se odhaduje na ~2.10¹¹M_¤) s rudým posuvem asi z @ 0,4. Tato mezilehlá galaxie je zřejmě tou gravitační čočkou způsobující zdánlivé rozdvojení kvasaru. Při astronomických pozorováních se pak objevily i některé další případy, kdy soustava podobných kvasarů se dá vysvětlit jako vícenásobné zobrazení jediného kvasaru mezilehlou galaxií jakožto gravitační čočkou (např. trojitý kvasar QSO PG 1115 + 08).

	Vlevo: Gigantický zářivý oblouk - neúplný Einsteinův prstenec - v kupě galaxií Abell 370. Vpravo: Zářivý oblouk téhož původu v kupě galaxií C1 244-02.
	Vlevo: Téměř úplný Einsteinův prstenec MG 1131+0456. Vpravo: Einsteinův prstenec MG 1131+0465 zobrazený v umělé barevné škále.
Příklady astronomicky pozorovaných Einsteinových oblouků vznikajících efektem gravitační čočky.

V těchto případech, kdy gravitační čočkou je galaxie s nesférickým gravitačním polem, je zobrazení podstatně komplikovanější než podle obr.4.10b ve Schwarzschildově poli - dochází k vícenásobnému rozštěpení (nejčastěji trojitý obraz *)). Navíc se zde jedná o rotující gravitační čočku (galaxie rotují), což může způsobovat další efekty asymetrie a nesoučasnosti vznikajících zobrazení, viz §4.4. Charakter pozorovaného obrazu v sobě nese některé informace o průběhu gravitačního pole "čočky", takže podrobná analýza struktury obrazu může zpětně poskytovat určité údaje o rozložení hmoty v mezilehlé galaxii - a to jak zářící, tak skryté (nezářící, temné) hmoty.
*) Radioastronomicky se pozoruje lichý počet obrazů, protože mezilehlá galaxie je pro rádiové záření průhledná.
    Pozorované vícenásobné zobrazení kvasarů efektem gravitační čočky mezilehlých galaxií je, kromě dalšího potvrzení Einsteinovy obecné teorie relativity, též důkazem toho, že kvasary leží opravdu v kosmologických vzdálenostech (a že tedy jejich velký rudý posuv je kosmologický Hubbleův rudý posuv). Gravitační čočka je "spojná čočka", takže vedle změny polohy obrazu vůči předmětu (a případně rozštěpení obrazu) se projevuje i tím, že se kvasar pozorovateli může jevit jasnějším než je ve skutečnosti.
Pozn: Dráhy paprsků I a II na obr.4.10 nejsou stejně dlouhé, takže případná změna jasu zdroje P se na obrazech P1 a P2 projeví s odlišným zpožděním. Změříme-li tedy časovou diferenci změn jasnosti obrazů P1 a P2, pak trigonometrickým rozborem úhlů g, d1,d2 lze stanovit vzdálenost zdroje P od pozorovatele. Gravitační čočky tak umožňují poměrně přesné absolutní měření vzdáleností kvasarů, nezávisle na nepřímých astronomických metodách.
Značný význam by též mělo pozorování efektu gravitační čočky vyvolaného masívní koncentrací skryté (nezářící) hmoty (§5.6) v galaxiích a kupách galaxií.
    Ještě většími gravitačními čočkami mohou být velké kupy galaxií. Taková kupa galaxií může působit jako obrovská vesmírná, kosmologická gravitační čočka, která by za vhodné konstelace mohla pomoci nahlédnout do nejvzdálenějších hlubin vesmíru - a tím i do nejzasší minulosti...

Precese eliptické dráhy ve Schwarzschildově poli
Analýzu kruhových orbit testovacích částic (včetně fotonů) ve Schwarzschildově poli lze bez obtíží provést přesně. Stabilní orbity odlišné od kruhových (pro něž radiální souřadnice kmitá mezi "perihéliem" a "aféliem", tj. mezi hodnotami r=r_A a r=r_B podle obr.4.6 vpravo) jsme před chvílí označili jako "eliptické". Není to však tak docela pravda. Základní novou vlastnost eliptických orbit - stáčení jejich hlavní osy - lze nejjednodušeji ukázat na případu orbity, která se jen velmi málo liší od kruhové.

Pro kruhovou orbitu r=R=const. o poloměru R je (dr/dt)|_r=R = 0, (d²r/dt²)|_r=R = 0, `L²= MR²/(R-3M). Slabě eliptickou dráhu (lišící se jen nepatrně od kruhové) lze považovat za poněkud porušenou kruhovou orbitu, takže pro ni můžeme psát r(t)= R + e(t), kde e « R (tj. je e/R«1) popisuje slabé radiální kmity mezi body obratu. Toto dosadíme do rovnice vzniklé derivací rovnice (4.6a) podle dt, rozložíme na řadu v mocninách e/R a ponecháme pouze členy 1.řádu. Po úpravě dostaneme rovnici

d²e /dt²   =   - (M/R³) (1 - 6M/R) . e   ,      

jejíž řešení je

e(t)   =   e_o. sin{Ö[(M/R³)(1 - 6M/R)] . t}   .

Perioda základního kruhového pohybu (oběžná doba) je podle Keplerova zákona T = 2p.Ö(R³/M). Perioda radiálních kmitů e(t) je T_e = 2p.Ö[R³/M(1-6M/R)]. Pohyb se tedy neděje po stálé elipse, protože by muselo být T_e = T. Za dobu jednoho radiálního kmitu T_e proběhne testovací částice (obíhající úhlovou rychlostí w) úhel w.T_e; rozdíl tohoto úhlu od 2p udává fázový rozdíl mezi radiálním a oběžným pohybem za jednu periodu: Dj = T_e.w -2p = 2p(T_e/T -1). O tento úhel Dj se za každou obrátku posunou (pootočí kolem středu r=0) body obratu, a tedy i přímka spojující perihélium přes střed s aféliem (obr.4.12):

Pokud se periody T a T_e příliš neliší, můžeme orbitu částice považovat za elipsu, která však není pevná, ale jejíž hlavní osa se (kolem středu r=0 jímž prochází) neustále pozvolna otáčí úhlovou rychlostí (obr.4.12)

Přibližné výrazy v (4.17a,b) platí tehdy, když R>>6M, tj. dostatečně daleko od středu.

Obr.4.12. Znázornění skutečného pohybu testovací čás tice po "eliptické" dráze ve Schwarzschildově poli. Pohyb neprobíhá přesně po pevné elipse, ale můžeme si jej představit jako obíhání po elipse, která sama vykonává precesní pohyb - hlavní osa této elipsy pomalu rotuje v souhlasném směru kolem středu r=0.

Precese eliptické dráhy tak vede k tomu, že "perihélium" testovací částice se za každou obrátku posune o úhel daný vztahem (4.17a). Tyto posuny se při větším počtu oběhů sčítají, takže i v případě, kdyDj pro jeden oběh činí jen nepatrný úhel, za delší dobu (po mnoha obězích) může posun perihélia nabýt měřitelnou hodnotu. Tak je tomu i při oběhu planet ve sluneční soustavě, kde tento efekt je nejvýraznější a nejsnáze měřitelný u planety Merkur (R @ 5,5.10¹⁰m). Vzorec (4.17a) pro Merkur dává Dj @ 6pGM/Rc² @ 5.10^-7rad/oběh; protože oběžná doba Merkuru je 0,241 roku, relativistický posun jeho perihélia činí asi 43'' za 100 let. Skutečně pozorovaný posun perihelia Merkura je mnohonásobně větší, avšak po odečtení všech příspěvků způsobených rušivými vlivy planet zbude právě ona část 43'' předpovězená obecnou teorii relativity.

Účinný průřez záchytu částic černou dírou
Vztah (4.15) udává účinný průřez záchytu černou dírou pouze pro fotony a ultrarelativistické částice s m_o« E_Ą. K výpočtu účinného průřezu záchytu nerelativistických částic černou dírou použijeme efektivního potenciálu V(r) podle (4.9). Aby částice byla zachycena černou dírou, musí být její energie větší než maximum efektivního potenciálu pro daný moment hybnosti: `E<sub>Ą</sub>> V<sub>max</sub>. Částice s nerelativistickou rychlostí v nekonečnu v«1 (poblíž černé díry však rychlost může být relativistická!) má energii E<sub>Ą</sub>=m.c<sup>2</sup> = m<sub>o</sub>, tj. `E_Ą=1. Z podmínky `E<sub>Ą</sub>=1 > V<sub>max</sub> po dosazení (4.11) zjistíme, že aby částice byla zachycena, musí její moment hybnosti splňovat nerovnost `L<4M (viz též obr.4.6, kde přímka `E<sub>Ą</sub>= 1 leží výše než maximum efektivního potenciálu jen tehdy, když `L < 4M), což vyjádřeno pomocí srážkového parametru je b< 4M/v_Ą= b_k. Částice s takovým impaktním parametrem jsou pohlceny. Účinný průřez záchytu nerelativistických částic Schwarzschildovou černou dírou je tedy

s_nr   =   p b_k²   =   16p M² / v_Ą²   =   4p r_g² / v_Ą²  =   16p G² M² / (c⁴ v_Ą²)   .      

Vyzařování gravitačních vln při pohybu v poli černé díry
Je třeba zdůraznit, že pohyb těles v poli Schwarzschildovy černé díry by vypadal tak, jak jsme si jej popsali, pouze v idealizovaném případě nekonečně malé testovací částice při zanedbání vyzařování gravitačních vln. Ve velkých vzdálenostech od černé díry je toto přibližně splněno. Každé těleso, které se však přiblíží na vzdálenost srovnatelnou s ~2M, začne (v důsledku velkého zrychlení) při svém pohybu vyzařovat intenzívní gravitační vlny. Takto vzniklé radiační brzdění výrazně ovlivní trajektorii tělesa. Orbity (zvláště "nízké" orbity s r <10M), které by teoreticky měly být stabilní, budou ve skutečnosti nestabilní - těleso bude neustále ztrácet energii vyzařováním gravitačních vln, takže bude po spirále postupně klesat k černé díře a nakonec jí bude pohlceno. Rychlost, s jakou částice o hmotnosti m («M) bude při svém obíhání po kruhové dráze poloměru r ztrácet energii gravitačním vyzařováním, je podle vzorce (2.88) a Keplerova zákona

Protože kinetická energie částice je E= (1/2)m.w²r² = (1/2)m.M/r (podle Keplerova zákona je w²r³=M), dostaneme po dosazení do (4.19) rovnici pro časovou změnu poloměru orbity v důsledku gravitačního vyzařování; její řešení je

kde r_o je stávající počáteční poloměr orbity. Je vidět, že stálá dráha r=r_o= const. může být pouze v limitě buď pro m®0 (dostatečně malá částice) nebo pro r_o®Ą (dostatečně daleko od černé díry). U eliptických orbit je gravitační vyzařování nejsilnější v "periheliu", kde se proto projevuje největší radiační brzdění. V důsledku toho eliptická orbita (kromě celkového zmenšování) snižuje svou excentricitu a postupně přechází v orbitu kruhovou (pokud na to má "dost času" před svým pohlcením). Z hlediska gravitačního vyzařování je možno pohyb tělesa po oběžné dráze kolem černé díry rozdělit na dvě etapy (obr.4.13). V první etapě těleso vyzařuje energii podle vzorce (4.19) a postupně klesá po spirále až k nejnižší (a nejsilněji vázané) stabilní kruhové orbitě o poloměru r=6M. Celkové množství energie vyzářené gravitačními vlnami během této první etapy (za předpokladu, že těleso hmotnosti m_o začalo svůj pohyb daleko od černé díry) je dáno vazbovou energií na orbitě o poloměru r=6M :

Po dosažení nejnižší stabilní kruhové orbity r=6M je těleso již velmi rychle pohlceno černou dírou, přičemž vyšle intenzívní impuls ("záblesk") gravitačního záření - druhá etapa. Energie vyzářená při tomto "záblesku" gravitačních vln je přibližně rovna [289],[62]

Obr.4.13. Křivka časového průběhu intenzity gravitačního záření tělesa obíhajícího kolem Schwarzschildovy černé díry. Těleso, jež začne své obíhání na nějakém velké poloměru ro (v čase t=0), klesá po spirále a kontinuálně vyzařuje se stále rostoucí intenzitou (etapa I); po dosažení poloměru r=6M je těleso rychle pohlceno, přičemž vyšle krátký intenzívní záblesk gravitačních vln etapa II).

Celkové množství energie, které těleso o hmotnosti m_o«M může při svém pádu na Schwarzschildovu černou díru vyzářit ve formě gravitačních vln, tedy je E = E_I + E_II, přičemž rozhodující část se vyzáří v první etapě. Pokud ovšem těleso dopadá na černou díru přímo (radiálně - bez mnohonásobného obíhání), první etapa zde nebude a vyzářená energie bude přibližně dána vztahem (4.22). Ze vztahů (4.21) a (4.22) je vidět, že účinnost přeměny klidové hmotnosti tělesa na energii gravitačních vln je poměrně vysoká (~5,7%) - je asi pětkrát vyšší než účinnost termonukleárních reakcí (vazbová energie na nejnižší stabilní kruhové orbitě černé díry je podstatně vyšší než vazbová energie nukleonů v atomovém jádře)! Jak uvidíme v následujícím odstavci, u rotujících černých děr tato účinnost může být ještě mnohonásobně větší.

Plocha horizontu a povrchová gravitace černé díry
Plocha horizontu r = 2M Schwarzschildovy černé díry je

Derivováním rovnice (4.7) podle t snadno zjistíme, že zrychlení d²r/dt² testovací částice v radiálním směru je dáno vztahem

d²r / dt²   =   - 2M/r² + L²/r³ - 3M L²/r⁴   .

Pro radiálně pohybující se částici (L=0) dosahuje na horizontu její zrychlení d²r/dt² hodnotu (d²r/dt²)|_r=2M= -1/4M. "Gravitační zrychlení" na povrchu černé díry (tj. na Schwarzschildově sféře) se nazývá povrchová gravitace černé díry k; pro Schwarzschildovu černou díru je povrchová gravitace

Povrchová gravitace k, která je mírou intenzity gravitačního pole na horizontu černé díry, hraje důležitou roli v termodynamice černých děr a určuje rychlost kvantové evaporace černé díry, jak uvidíme v §4.6 a 4.7.

Extenze Schwarzschildovy geometrie a černá díra
Co se týče geometrických konstrukcí z §3.4, vztahuje se k reálné černé díře vzniklé sférickým gravitačním kolapsem pouze část A a B Kruskalova diagramu Schwarzschildovy geometrie podle obr.3.17 a 3.19. Extenzí vzniklé části A' a B' jsou ve skutečnosti nahrazeny vnitřkem kolabující hvězdy (kde je řešení jiné) a tedy se nerealizují. Značná část úplné extenze Schwarzschildovy geometrie nemá žádný vztah k černé díře vzniklé gravitačním kolapsem, protože skutečná geometrie prostoročasu je Schwarzschildovská pouze vně kolabující hvězdy a navíc až v asymptotické budoucnosti (viz též obr.4.18a na konci následujícího §4.4). Úplná extenze Schwarzschildovy geometrie by mohla popisovat jen tzv. věčnou černou díru, která nevznikla gravitačním kolapsem, ale existovala vždy jako součást počátečních podmínek vesmíru [].

4.2. Hvězdná evoluce. Gravitační kolaps		4.4. Rotující a elektricky nabité Kerrovy-Newmanovy černé díry

Vojtěch Ullmann